Se x é um número real tal que |x|<1 então x<1 e x>-1.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos provar que, para todo número real x satisfazendo lvert xrvert<1, temos simultaneamente x<1 e x>-1. O conteúdo envolvido é a definição de valor absoluto e o uso das propriedades de desigualdades.

Passo 2

Recordando a definição de valor absoluto, para cada real
Da hipótese (\lvert x\rvert<1], vamos examinar separadamente os dois casos da definição.

Passo 3

Caso x>=0: então lvert xrvert = x. A condição lvert xrvert<1 vira
x<1
Como x>=0, segue também x>-1. Portanto, neste caso já vimos x<1 e x>-1.

Passo 4

Caso x<0: então lvert xrvert = -x. A condição lvert xrvert<1 vira
-,x<1 Longrightarrow x>-1
E como x<0, fica claro também que x<1. Assim, mais uma vez obtemos x<1 e x>-1.

Resposta

Para todo real x com lvert xrvert<1, sempre vale
x<1 e x>-1

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