Se
é um número real tal que
então
e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos provar que, para todo número real
satisfazendo
, temos simultaneamente
e
. O conteúdo envolvido é a definição de valor absoluto e o uso das propriedades de desigualdades.
Passo 2
Recordando a definição de valor absoluto, para cada real
Da hipótese (\lvert x\rvert<1], vamos examinar separadamente os dois casos da definição.
Passo 3
Caso
: então
. A condição
vira
Como
, segue também
. Portanto, neste caso já vimos
e
.
Passo 4
Caso
: então
. A condição
vira
E como
, fica claro também que
. Assim, mais uma vez obtemos
e
.
Resposta
Para todo real
com
, sempre vale