Determine a equação da reta perpendicular ao plano
e que passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
- O plano
tem equação . - O ponto pelo qual a reta deve passar é
.
O que o problema pede:
- Determinar a equação da reta que é perpendicular ao plano
e passa pelo ponto .
Passo 2
Ideia-chave (explicada passo a passo, sem pular etapas):
- Um plano dado por
tem como vetor normal o vetor formado pelos coeficientes dos termos ; ou seja, o vetor normal é . - Isso acontece porque, por construção, qualquer vetor contido no plano é ortogonal (perpendicular) a
. (Mais adiante explico o que significa “ortogonal” de forma concreta.)
- Isso acontece porque, por construção, qualquer vetor contido no plano é ortogonal (perpendicular) a
- Uma reta é perpendicular a um plano exatamente quando a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Em outras palavras, se a direção da reta é
e é um múltiplo de , então a reta é perpendicular ao plano.
Passo 3
Breve explicação sobre “ortogonal” e produto escalar (dot product), para entender a afirmação acima:
- Dados dois vetores em
, e , o produto escalar é
- Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se,
. - Se
é o vetor normal do plano e é a direção da reta, então dizer que a reta é perpendicular ao plano equivale a dizer que é paralelo a . Uma forma simples de garantir isso na prova é escolher (ou para algum ).
Passo 4
Aplicando ao plano dado:
- Da equação do plano
extraímos o vetor normal
pois os coeficientes de
são
, respectivamente.
Passo 5
Escolhendo a direção da reta:
- Como a reta deve ser perpendicular ao plano, podemos tomar a direção da reta igual ao vetor normal
. - Para escrever a reta que passa por
com direção , usamos a forma vetorial/paramétrica:
onde
é o vetor posição do ponto dado (aqui
) e
é o parâmetro.
Passo 6
Passando a forma vetorial para as equações em coordenadas:
- Vetorialmente:
- Isso dá as equações paramétricas (uma por componente):
com
. Aqui
é o parâmetro que varia e gera todos os pontos da reta; quando
obtém-se o ponto
.
Passo 7
Forma simétrica (opcional, mostrando outra maneira de representar a mesma reta):
- Como nenhum componente da direção é zero, pode-se escrever também na forma simétrica
Observação: ambas as representações (paramétrica e simétrica) descrevem exatamente a mesma reta.
Passo 8
Verificação rápida (para ter certeza, tipo “checar o resultado”):
- A direção escolhida
é exatamente o vetor normal do plano; portanto a reta tem direção paralela ao normal do plano e, por definição, é perpendicular ao plano. Além disso, ao tomar nas equações paramétricas obtém-se o ponto , portanto a reta passa por . Assim, tudo confere.