Determine a equação da reta perpendicular ao plano
\pi: 3 x-4 y+2 z-6=0
e que passa pelo ponto P(1,2,-1).

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que foi informado):
  • O plano \pi tem equação \displaystyle 3x-4y+2z-6=0.
  • O ponto pelo qual a reta deve passar é P(1,2,-1).
O que o problema pede:
  • Determinar a equação da reta que é perpendicular ao plano \pi e passa pelo ponto P(1,2,-1).

Passo 2

Ideia-chave (explicada passo a passo, sem pular etapas):
  • Um plano dado por \displaystyle ax+by+cz+d=0 tem como vetor normal o vetor formado pelos coeficientes dos termos x,y,z; ou seja, o vetor normal é \displaystyle \mathbf{n}=(a,b,c).
    • Isso acontece porque, por construção, qualquer vetor contido no plano é ortogonal (perpendicular) a \mathbf{n}. (Mais adiante explico o que significa “ortogonal” de forma concreta.)
  • Uma reta é perpendicular a um plano exatamente quando a direção da reta é paralela ao vetor normal do plano. Em outras palavras, se a direção da reta é \mathbf{v} e \mathbf{v} é um múltiplo de \mathbf{n}, então a reta é perpendicular ao plano.

Passo 3

Breve explicação sobre “ortogonal” e produto escalar (dot product), para entender a afirmação acima:
  • Dados dois vetores em \mathbb{R}^3, \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
  • Dois vetores são ortogonais (perpendiculares) se, e somente se, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.
  • Se \mathbf{n} é o vetor normal do plano e \mathbf{v} é a direção da reta, então dizer que a reta é perpendicular ao plano equivale a dizer que \mathbf{v} é paralelo a \mathbf{n}. Uma forma simples de garantir isso na prova é escolher \mathbf{v}=\mathbf{n} (ou \mathbf{v}=k\mathbf{n} para algum k\neq0).

Passo 4

Aplicando ao plano dado:
  • Da equação do plano \displaystyle 3x-4y+2z-6=0 extraímos o vetor normal
\mathbf{n}=(3,-4,2),
pois os coeficientes de x,y,z são 3,-4,2, respectivamente.

Passo 5

Escolhendo a direção da reta:
  • Como a reta deve ser perpendicular ao plano, podemos tomar a direção da reta igual ao vetor normal \mathbf{v}=\mathbf{n}=(3,-4,2).
  • Para escrever a reta que passa por P(1,2,-1) com direção \mathbf{v}, usamos a forma vetorial/paramétrica:
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v},
onde \mathbf{r_0} é o vetor posição do ponto dado (aqui \mathbf{r_0}=(1,2,-1)) e t\in\mathbb{R} é o parâmetro.

Passo 6

Passando a forma vetorial para as equações em coordenadas:
  • Vetorialmente:
\mathbf{r}(t)=(1,2,-1)+t(3,-4,2).
  • Isso dá as equações paramétricas (uma por componente):
x=1+3t,
y=2-4t,
z=-1+2t,
com t\in\mathbb{R}. Aqui t é o parâmetro que varia e gera todos os pontos da reta; quando t=0 obtém-se o ponto P.

Passo 7

Forma simétrica (opcional, mostrando outra maneira de representar a mesma reta):
  • Como nenhum componente da direção é zero, pode-se escrever também na forma simétrica
\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{2}.
Observação: ambas as representações (paramétrica e simétrica) descrevem exatamente a mesma reta.

Passo 8

Verificação rápida (para ter certeza, tipo “checar o resultado”):
  • A direção escolhida (3,-4,2) é exatamente o vetor normal do plano; portanto a reta tem direção paralela ao normal do plano e, por definição, é perpendicular ao plano. Além disso, ao tomar t=0 nas equações paramétricas obtém-se o ponto (1,2,-1), portanto a reta passa por P. Assim, tudo confere.

Resposta

\text{Equação paramétrica: } \begin{cases} x=1+3t,\\[4pt] y=2-4t,\\[4pt] z=-1+2t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}çãé
\text{Equação simétrica: } \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{2}çãé]

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