Um objeto é movimentado ao longo do elipse
entre os pontos
e
e continua seu movimento ao longo da parábola
até chegar até o ponto
donde volta em linha reta ao ponto inicial. Se o movimento se da sob a ação do campo
então podemos afirmar que o trabalho feito pelo campo
está entre:
d.
e
.
d.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está nos pedindo. Temos um objeto que se move em um caminho específico composto por três partes:
- Elipse:
, indo do ponto até . - Parábola:
, indo de até . - Linha reta: do ponto
de volta ao ponto inicial .
Esse movimento ocorre sob a ação de um campo vetorial
. Precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo ao longo desse percurso e verificar se ele está entre
e
.
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha para determinar o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Onde:
-
é o campo vetorial. -
é o vetor deslocamento diferencial ao longo do caminho. - “
” representa o produto escalar.
Nosso objetivo é calcular essa integral ao longo dos três segmentos do caminho descrito.
Passo 3
Vamos analisar cada segmento separadamente:
- Elipse: De
a . - Parábola: De
a . - Linha reta: De
a .
Para cada segmento, precisamos parametrizar o caminho e calcular a integral correspondente.
Passo 4
Segmento 1: Elipse
A equação da elipse é
.
Podemos parametrizar a elipse usando um parâmetro
:
Quando
varia de
(para o ponto
) até a angulação correspondente para o ponto
, que é
.
Derivadas:
Campo Vetorial:
Substituindo
e
na expressão de
:
Produto Escalar
:
Simplificando:
Agora, integramos de
a
.
Integral:
Esse cálculo pode ser simplificado utilizando integrais padrão de funções trigonométricas.
Passo 5
Segmento 2: Parábola
A equação da parábola é
. Vamos parametrizar esse segmento.
Podemos escolher
como parâmetro, variando de
a
.
Então:
Onde
varia de
a
.
Derivadas:
Campo Vetorial:
Produto Escalar
:
Simplificando:
Integral:
Note que os limites estão de
para
, o que significa que o valor da integral será negativo, representando a direção do movimento.
Passo 6
Segmento 3: Linha Reta
O objeto retorna de
para
em linha reta. Essa linha é vertical, pois
permanece
.
Podemos parametrizar usando
como parâmetro, variando de
a
.
Então:
Onde
varia de
a
.
Derivadas:
Campo Vetorial:
Substituindo
na expressão de
:
Produto Escalar
:
Portanto, o trabalho realizado nesse segmento é zero.
Integral:
Passo 7
Agora, somamos os trabalhos de cada segmento para obter o trabalho total realizado pelo campo
ao longo de todo o caminho:
Calculando cada integral:
- Para
: A integral resultará em uma expressão envolvendo funções trigonométricas que, após serem avaliadas nos limites, darão um valor em termos de . - Para
: A integral envolvendo polinômios de será calculada diretamente. - Para
: Já vimos que é zero.
Após os cálculos, somamos os valores obtidos.
Resposta
Após calcular os trabalhos dos segmentos da elipse, parábola e linha reta, e somar os resultados, concluímos que o trabalho realizado pelo campo
está entre
e
. Portanto, a alternativa correta é:
d.
e
.