1. Determine equação da reta mais próxima ao gráfico y=1-x^{3} no intervalo [-1,1].

Passo 1

O enunciado dá a função y=1-x^{3} definida no intervalo [-1,1] e pede: determinar a equação da reta mais próxima ao gráfico dessa função nesse intervalo.
Informações relevantes fornecidas:
\text{Função: }f(x)=1-x^{3},\qquad x\in[-1,1].çã
\text{Intervalo: }[-1,1].
\text{Pedido: equação da reta "mais próxima" ao gráfico em }[-1,1].çãóá

Passo 2

Escolhemos interpretar “reta mais próxima” como a reta que minimiza o erro quadrático total entre a função e a reta no intervalo, isto é, a reta p(x)=\alpha+\beta x que minimiza
E(\alpha,\beta)=\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)^{2}\,dx.
Explicando o porquê dessa escolha (rápido e direto): minimizar a integral do quadrado do erro é o procedimento padrão para encontrar a melhor aproximação em norma L^{2} — é a mesma ideia da regressão por mínimos quadrados, mas agora contínua em todo o intervalo. Essa aproximação é obtida fazendo o resíduo r(x)=f(x)-p(x) ortogonal ao espaço gerado por 1 e x com o produto interno
\langle g,h\rangle=\int_{-1}^{1}g(x)h(x)\,dx.
Da ortogonalidade seguem as equações normais:
\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)\,dx=0
e
\int_{-1}^{1}\bigl(f(x)-p(x)\bigr)x\,dx=0.
Essas duas equações determinam \alpha e \beta.

Passo 3

Escrevo explicitamente f(x)=1-x^{3} e p(x)=\alpha+\beta x. As condições ficam:
  1. Primeira condição:
\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{3}-\alpha-\beta x\bigr)\,dx=0.
  1. Segunda condição:
\int_{-1}^{1}\bigl(1-x^{3}-\alpha-\beta x\bigr)x\,dx=0.
Agora calculamos cada integral com cuidado, usando simetria (funções ímpares e pares) para simplificar.

Passo 4

Cálculo da primeira condição.
Avalio termo a termo:
\int_{-1}^{1}1\,dx=2,
\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=0\quad\text{(porque \(x^{3}\) é função ímpar sobre \([-1,1]\))},éçãí
\int_{-1}^{1}\alpha\,dx=2\alpha,
\int_{-1}^{1}\beta x\,dx=0\quad\text{(porque \(x\) é ímpar)}.éí
Substituindo na condição 1):
2-0-2\alpha-0=0 \quad\Longrightarrow\quad 2-2\alpha=0.
Logo
\alpha=1.

Passo 5

Cálculo da segunda condição com \alpha=1.
Avalio termo a termo:
\int_{-1}^{1}1\cdot x\,dx=\int_{-1}^{1}x\,dx=0\quad\text{(ímpar)},í
\int_{-1}^{1}x^{3}\cdot x\,dx=\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx=\frac{2}{5}\quad\text{(função par)},çã
\int_{-1}^{1}\alpha x\,dx=\alpha\int_{-1}^{1}x\,dx=0,
\int_{-1}^{1}\beta x\cdot x\,dx=\beta\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\beta\cdot\frac{2}{3}.
A segunda condição dá:
0-\frac{2}{5}-0-\beta\cdot\frac{2}{3}=0.
Isolando \beta:
-\frac{2}{5}-\frac{2}{3}\beta=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{3}\beta=-\frac{2}{5}.
Multiplicando ambos os lados por \frac{3}{2}:
\beta=-\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{2}=-\frac{3}{5}.

Passo 6

Concluímos que os coeficientes da reta ótima são \alpha=1 e \beta=-\tfrac{3}{5}. Portanto a reta buscada é
p(x)=1-\frac{3}{5}x.
Breta explicação intuitiva rápida: como x^{3} é ímpar, seu efeito médio sobre o intervalo simétrico é zero para o termo constante, então a ordenada na origem fica exatamente 1; o termo ímpar gera um ajuste na inclinação negativo, que encontramos como -\tfrac{3}{5}.

Resposta

y=1-\dfrac{3}{5}x

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