- Determine equação da reta mais próxima ao gráfico
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede: determinar a equação da reta mais próxima ao gráfico dessa função nesse intervalo.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Escolhemos interpretar “reta mais próxima” como a reta que minimiza o erro quadrático total entre a função e a reta no intervalo, isto é, a reta
que minimiza
Explicando o porquê dessa escolha (rápido e direto): minimizar a integral do quadrado do erro é o procedimento padrão para encontrar a melhor aproximação em norma
— é a mesma ideia da regressão por mínimos quadrados, mas agora contínua em todo o intervalo. Essa aproximação é obtida fazendo o resíduo
ortogonal ao espaço gerado por
e
com o produto interno
Da ortogonalidade seguem as equações normais:
e
Essas duas equações determinam
e
.
Passo 3
Escrevo explicitamente
e
. As condições ficam:
- Primeira condição:
- Segunda condição:
Agora calculamos cada integral com cuidado, usando simetria (funções ímpares e pares) para simplificar.
Passo 4
Cálculo da primeira condição.
Avalio termo a termo:
Substituindo na condição 1):
Logo
Passo 5
Cálculo da segunda condição com
.
Avalio termo a termo:
A segunda condição dá:
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Concluímos que os coeficientes da reta ótima são
e
. Portanto a reta buscada é
Breta explicação intuitiva rápida: como
é ímpar, seu efeito médio sobre o intervalo simétrico é zero para o termo constante, então a ordenada na origem fica exatamente
; o termo ímpar gera um ajuste na inclinação negativo, que encontramos como
.