1. Prove que o algoritmo iterativo
x_{k+1}=\frac{1}{2+\left|x_{k}\right|}

Passo 1

O enunciado dá o algoritmo iterativo
x_{k+1}=\frac{1}{2+\left|x_{k}\right|}
e pede que provemos algo sobre esse algoritmo. Vou entender a tarefa como: mostrar que a sequência gerada por essa iteração converge (para qualquer x_{0}\in\mathbb{R}) e determinar o limite. As informações relevantes que temos são:
  • A definição recursiva \;x_{k+1}=g(x_k) com g(x)=\dfrac{1}{2+|x|}.
  • Não há restrição dada para x_{0}, então devemos tratar x_{0}\in\mathbb{R}.
  • A função envolvida usa valor absoluto, portanto sempre produz valores não negativos no lado direito.

Passo 2

Primeira observação simples e importante (para simplificar a análise): a imagem de g é positiva e limitada acima. Vou mostrar isso passo a passo.
  • Para qualquer x\in\mathbb{R} temos |x|\ge 0, logo 2+|x|\ge 2.
  • Portanto
0<g(x)=\frac{1}{2+|x|}\le\frac{1}{2}.
Concluímos que, independentemente de x_{0}, temos x_{1}=g(x_{0})\in\left(0,\tfrac{1}{2}\right]. Como g sempre retorna valores positivos, todos os termos a partir de x_{1} são positivos:
x_{k}\in\left(0,\tfrac{1}{2}\right]\quad\text{para todo }k\ge 1.
Isso simplifica porque, a partir de k\ge1, podemos substituir |x_k| por x_k (já que esses termos são não-negativos).

Passo 3

Agora vou mostrar que g é uma contração global (isso garante convergência rápida e única).
  • Para quaisquer x,y\in\mathbb{R},
\left|g(x)-g(y)\right| =\left|\frac{1}{2+|x|}-\frac{1}{2+|y|}\right| =\frac{\big||y|-|x|\big|}{(2+|x|)(2+|y|)}.
  • Usamos duas desigualdades simples:
    1. A diferença entre valores absolutos é limitada pela diferença: \big||y|-|x|\big|\le|y-x|.
    2. Os denominadores são \ge 2 cada um, então (2+|x|)(2+|y|)\ge 2\cdot 2=4.
  • Com isso obtemos
\left|g(x)-g(y)\right| \le\frac{|x-y|}{4}.
Isto mostra que g é Lipschitz com constante L=\tfrac{1}{4}<1; em outras palavras, g é uma contração em todo \mathbb{R}.
Comentário didático rápido: uma função ser contração significa que ela aproxima pontos: imagens ficam mais perto que os originais por um fator fixo L<1. Esse fato é poderoso porque dá convergência geométrica.

Passo 4

Aplicação do Teorema das Contrações de Banach (explicado de forma simples):
  • O teorema diz: se g é uma contração num espaço completo (aqui \mathbb{R} com a métrica usual) então existe um único ponto fixo x_{*} tal que g(x_{*})=x_{*}, e, para qualquer condição inicial x_{0}, a iteração x_{k+1}=g(x_{k}) converge geometricamente para x_{*}. Além disso há a cota de erro
|x_{k}-x_{*}|\le L^{k}|x_{0}-x_{*}|,
onde L é a constante de contração.
  • No nosso caso já mostramos L=\tfrac{1}{4}. Portanto há um único ponto fixo x_{*} e
|x_{k}-x_{*}|\le\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}|x_{0}-x_{*}|,
ou seja, convergência para x_{*} para qualquer x_{0}, com taxa geométrica de razão \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Agora encontramos explicitamente o ponto fixo x_{*}. O ponto fixo satisfaz
x_{*}=g(x_{*})=\frac{1}{2+|x_{*}|}.
Como g tem imagem não-negativa, necessariamente x_{*}\ge 0. Assim |x_{*}|=x_{*} e a equação vira
x_{*}=\frac{1}{2+x_{*}}.
Multiplicando ambos os lados por 2+x_{*} obtemos a equação quadrática
x_{*}(2+x_{*})=1\quad\Longrightarrow\quad x_{*}^{2}+2x_{*}-1=0.
Resolvendo a quadrática (fórmula de Bhaskara):
x_{*}=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}.
Como queremos x_{*}\ge 0, escolhemos o sinal +. Logo
x_{*}=-1+\sqrt{2}.
(O outro candidato x_{*}=-1-\sqrt{2} é negativo e não serve porque g só produz valores não-negativos.)

Passo 6

Resumo das conclusões com explicações práticas para a prova:
  • A função g(x)=\dfrac{1}{2+|x|} é uma contração global com constante L=\tfrac{1}{4}. Mostramos isso pela desigualdade
\left|g(x)-g(y)\right|\le\frac{|x-y|}{4}.
  • Pelo Teorema das Contrações, existe um único ponto fixo x_{*} e a iteração converge para esse ponto para qualquer x_{0}. A taxa de convergência é geométrica com razão \tfrac{1}{4}, e a cota de erro é
|x_{k}-x_{*}|\le\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}|x_{0}-x_{*}|.
  • O ponto fixo, resolvendo a equação x=\dfrac{1}{2+x}, é
x_{*}=-1+\sqrt{2}.
Portanto a sequência converge globalmente e rapidamente para esse valor.

Resposta

A sequência definida por x_{k+1}=\dfrac{1}{2+|x_k|} converge para -1+\sqrt{2} para todo x_{0}\in\mathbb{R}.
A convergência é global e geométrica, com cota de erro |x_{k}-(-1+\sqrt{2})|\le\big(\tfrac{1}{4}\big)^{k}|x_{0}-(-1+\sqrt{2})|.

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