Exemplo 14

Determine a equação da reta r_{2} que passa pelo ponto A=(1,4) e é paralela à reta
r_{1}: y=3 x+2

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já nos dá:
  • Pedido: determinar a equação da reta r_{2} que passa pelo ponto A=(1,4) e é paralela à reta r_{1}.
  • Informações fornecidas:
    • A reta r_{1} tem equação \,y=3x+2.
    • O ponto dado é A=(1,4).

Passo 2

Entendendo o conceito de coeficiente angular (inclinação) e paralelismo:
  • Em uma equação no formato \,y=mx+b, o número m é o coeficiente angular (a inclinação da reta): ele diz quanto a reta sobe (ou desce) quando x aumenta de uma unidade.
  • Duas retas são paralelas se, e somente se, tiverem o mesmo coeficiente angular m. Ou seja, retas y=m x + b_1 e y=m x + b_2 são paralelas porque têm a mesma inclinação m.
  • Observação prática: na reta \,y=3x+2 que o enunciado deu, o coeficiente angular é m=3. Então qualquer reta paralela a r_1 também terá m=3.

Passo 3

Forma ponto-inclinação (útil para achar reta que passa por um ponto com determinado m):
  • A fórmula que relaciona uma reta de inclinação m que passa por um ponto (x_0,y_0) é
y - y_0 = m(x - x_0).
  • Explicação simples: a diferença y-y_0 é a variação vertical correspondente à variação horizontal x-x_0; a inclinação m é justamente a razão entre essas variações, então y-y_0 = m(x-x_0).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • Sabemos que m=3 (porque a reta pedida é paralela a r_1) e que o ponto é (x_0,y_0)=(1,4).
  • Substituindo na forma ponto-inclinação:
y-4 = 3(x-1).

Passo 5

Transformando para a forma y=mx+b (mais comum):
  • Desenvolvendo o lado direito: 3(x-1)=3x-3.
  • Então y-4=3x-3.
  • Somando 4 em ambos os lados obtemos
y = 3x-3+4,
y = 3x+1.

Passo 6

Verificações finais (para ter certeza na hora da prova):
  • Mesma inclinação que r_1: ambas têm m=3 → são paralelas.
  • Passa pelo ponto A: substituindo x=1 em y=3x+1 y=3\cdot1+1=4, que é exatamente a ordenada do ponto A. Logo a reta passa por A.

Passo 7

Dica rápida para a prova (método alternativo e mais curto):
  • Partir diretamente de y=3x+b (mesma inclinação) e substituir o ponto: 4=3\cdot1+b b=1. Resultado: y=3x+1.

Resposta

y=3x+1

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