Determine a equação da reta que seja tangente ao gráfico de f(x)=3 x^34-x^2raiz7 x^2+1 no ponto x0=1.

Passo 1

O exercício pede a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x₀=1; vamos usar derivadas e a fórmula da reta na forma ponto-inclinação.

Passo 2

Primeiro calculamos f(1). Temos f(x)= 3x^3/4-x^2raiz7,x^2+1. Logo
f(1)=3cdot1^3/4-1^2raiz7cdot1^2+1=2raiz7+1=raiz7-13

Passo 3

Em seguida, aplicamos a regra do quociente para f’(x): se u=3x{3/4}-x2 e v=\sqrt7,x^2+1, então
u'=94x^-1/4-2x, v'=2raiz7,x,
e
f'(x)=u'v-uv'v^2

Passo 4

Avaliamo em x=1: u’(1)=1/4, v(1)=\sqrt7+1, u(1)=2, v’(1)=2\sqrt7. Logo
f'(1)=tfrac14(raiz7+1)-2cdot2raiz7(raiz7+1)^2 =1-15raiz74(8+2raiz7)=109-61raiz772

Passo 5

Por fim, a equação da reta tangente em ponto (1,f(1)) é
y-f(1)=f'(1),(x-1)

Resposta

y-\frac{\sqrt7-1}{3}=\frac{109-61\sqrt7}{72},(x-1)

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