Decida em que pontos a função f, dada por f(x)=raizx^4+x^2, é derivável. Em que pontos a função g(x)=raizx^6+x^4 é derivável?

Passo 1

Vamos recapitular: precisamos decidir os pontos em que as funções f(x)=raizx^4+x^2 e g(x)=raizx^6+x^4 são deriváveis. O assunto aqui é análise de diferenciabilidade de funções envolvendo raiz de polinômio.

Passo 2

Analisando f(x): note que x^4+x^2=x^2(x^2+1), então
f(x)=raizx^2(x^2+1)=|x|,raizx^2+1

Passo 3

Para xneq0, |x| e raizx^2+1 são diferenciáveis (são produto de funções suaves), logo f é diferenciável em Rsetminus0. Em x=0 calculamos as derivadas laterais:
  • Para a direita: f'(0^+)=limhto0^+hraizh^2+1-0h=raiz1=1
  • Para a esquerda: f'(0^-)=limhto0^--hraizh^2+1-0h=-raiz1=-1
    Como f'(0^+)neq f'(0^-), f não é diferenciável em x=0.

Passo 4

Agora g(x): escreva x^6+x^4=x^4(x^2+1) e então
g(x)=raizx^4(x^2+1)=|x^2|,raizx^2+1=x^2raizx^2+1,porque x^2>=0. Essa é combinação de funções suaves, logo g é diferenciável em todo R.

Resposta

f é diferenciável em todos os pontos exceto x=0; g é diferenciável em todo R.

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