Determine a equação da reta t que passa no ponto A(1,-3,2) é concorrente com o eixo O z que passa na origem e é ortogonal a reta m:ly=x+2 z=2 x-1

Passo 1

O problema quer a equação da reta
intercepta o eixo num ponto qualquer e é ortogonal à reta
Para resolver, vamos: (i) extrair o vetor direção de em função de , (iii) impor a condição de ortogonalidade, (iv) determinar e enfim (v) escrever a equação de .

Passo 2

Parametrizando m por x=t
m:;(x,y,z)=(t,;t+2,;2t-1),
logo seu vetor direção é
dm=(1,,1,,2)

Passo 3

Como t intercepta o eixo Oz num ponto P=(0,0,p), seu vetor direção é
v = AP = P - A = (0-1,;0-(-3),;p-2) = (-1,,3,,p-2)

Passo 4

Ortogonalidade exige vcdot dm=0. Então
(-1)cdot1 + 3cdot1 + (p-2)cdot2 = 0 Longrightarrow -1 + 3 + 2p - 4 = 0 Longrightarrow 2p - 2 = 0 Longrightarrow p = 1

Passo 5

Com p=1 temos P=(0,0,1) e
v = (-1,,3,,-1)
Podemos usar o vetor oposto (1,-3,1) para uma forma mais direta. Assim, a reta t em forma paramétrica é
(x,y,z) = (1,-3,2) + t,(1,-3,1),
isto é,
x = 1 + t, y = -3 - 3t, z = 2 + t
Em forma simétrica:
x-11 ;=;y+3-3;=;z-21

Resposta

boxed(x,y,z) = (1,-3,2) + t,(1,-3,1)
ou equivalentemente
x-11 ;=;y+3-3;=;z-21

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