Questão 04 Resolva as questões abaixo, justificando e dizendo se são verdadeiras ou falsas.
Se a terceira coluna de uma matriz é um vetor de zeros, a terceira coluna de será um vetor de zeros, para qualquer .
Verdadeiro, pois a terceira coluna de será a soma de zero cada coluna de .
Se a terceira linha de é toda de zeros, a terceira linha de pode não ser um vetor de zeros.
Verdadeiro. A única observação que pode ser feita é que a terceria coluna de não terá efeito no produto . Em particular, a terceira linha de pode ter elementos distintos de zero, a depender dos outros pesos em e das outras colunas de . Um exemplo em que isso pode ocorrer é: é uma matriz de 1’s e uma matriz de 1’s também, exceto pela sua terceira linha.
A matriz foi fatorada em , onde é uma matriz que tem como colunas e tem como linhas e . Seria possível apresentar a matriz A como uma soma de matrizes de posto 1 ? Em caso negativo, justifique. Em caso positivo, escreva a soma.
Sim, é possível. Fazendo A=(U P) V ou A=U(P V) (permutando as colunas de U ou as linhas de V ) temos A=u4 v1^T+u3 v2^T+u2 v3^T+u1 v4^T.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre operações com matrizes e fatoração em posto 1. O conteúdo envolve propriedades de multiplicação de matrizes (colunas e linhas nulas) e decomposição de uma matriz A em A=U P V com P permutação, levando a uma soma de matrizes de posto 1.
Passo 2
Afirmação 1: “Se a terceira coluna de B é um vetor de zeros, a terceira coluna de E B será um vetor de zeros, para qualquer E.”
Cada coluna j de E B é dada por E vezes a coluna j de B. Se a coluna 3 de B é o vetor zero, então
(E B):,3 ;=; E ,0 ;=;0
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação 2: “Se a terceira linha de B é toda de zeros, a terceira linha de E B pode não ser um vetor de zeros.”
A linha 3 de E B é a combinação linear das linhas de B com coeficientes da linha 3 de E:
(E B)3,* =sumkE3,k,Bk,*
Como B3,*=0, mas para kneq3 podemos ter E3,kneq0 e Bk,*neq0, a linha 3 de E B pode ser não nula. Por exemplo, se B tem linha 3 zero e E3,1neq0 com B1,*neq0, então (E B)3,*neq0. Assim, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação 3: “Dados A=U P V com
P= 0&0&0&1 0&0&1&0 0&1&0&0 1&0&0&0 ,
é possível expressar A como soma de matrizes de posto 1?”
Observação:
P ;=;sumi=1^4ei,e5-i^T,
onde ei são vetores canônicos. Então
A = U,P,V =Ul(sumi=1^4eie5-i^Tr)V =sumi=1^4(Uei),(e5-i^TV) =sumi=1^4ui,v5-i^T
Como cada uiv5-i^T é posto 1, A é soma de quatro matrizes de posto 1. A afirmação é verdadeira.