Questão 04 Resolva as questões abaixo, justificando e dizendo se são verdadeiras ou falsas.
  1. Se a terceira coluna de uma matriz B é um vetor de zeros, a terceira coluna de E B será um vetor de zeros, para qualquer E.
    Verdadeiro, pois a terceira coluna de E B será a soma de zero times cada coluna de E.
  2. Se a terceira linha de B é toda de zeros, a terceira linha de E B pode não ser um vetor de zeros.
    Verdadeiro. A única observação que pode ser feita é que a terceria coluna de E não terá efeito no produto E B. Em particular, a terceira linha de E B pode ter elementos distintos de zero, a depender dos outros pesos em B e das outras colunas de E. Um exemplo em que isso pode ocorrer é: E é uma matriz de 1’s e B uma matriz de 1’s também, exceto pela sua terceira linha.
  3. A matriz A foi fatorada em A=U P V, onde U é uma matriz que tem como colunas U1, U2, U3, U4 e V tem como linhas v1^T, v2^T, v3^T, v4^T e P=[cccc0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0]. Seria possível apresentar a matriz A como uma soma de matrizes de posto 1 ? Em caso negativo, justifique. Em caso positivo, escreva a soma.
    Sim, é possível. Fazendo A=(U P) V ou A=U(P V) (permutando as colunas de U ou as linhas de V ) temos A=u4 v1^T+u3 v2^T+u2 v3^T+u1 v4^T.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre operações com matrizes e fatoração em posto 1. O conteúdo envolve propriedades de multiplicação de matrizes (colunas e linhas nulas) e decomposição de uma matriz A em A=U P V com P permutação, levando a uma soma de matrizes de posto 1.

Passo 2

Afirmação 1: “Se a terceira coluna de B é um vetor de zeros, a terceira coluna de E B será um vetor de zeros, para qualquer E.”
Cada coluna j de E B é dada por E vezes a coluna j de B. Se a coluna 3 de B é o vetor zero, então
(E B):,3 ;=; E ,0 ;=;0
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação 2: “Se a terceira linha de B é toda de zeros, a terceira linha de E B pode não ser um vetor de zeros.”
A linha 3 de E B é a combinação linear das linhas de B com coeficientes da linha 3 de E:
(E B)3,* =sumkE3,k,Bk,*
Como B3,*=0, mas para kneq3 podemos ter E3,kneq0 e Bk,*neq0, a linha 3 de E B pode ser não nula. Por exemplo, se B tem linha 3 zero e E3,1neq0 com B1,*neq0, então (E B)3,*neq0. Assim, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação 3: “Dados A=U P V com
P= 0&0&0&1 0&0&1&0 0&1&0&0 1&0&0&0 ,
é possível expressar A como soma de matrizes de posto 1?”
Observação:
P ;=;sumi=1^4ei,e5-i^T,
onde ei são vetores canônicos. Então
A = U,P,V =Ul(sumi=1^4eie5-i^Tr)V =sumi=1^4(Uei),(e5-i^TV) =sumi=1^4ui,v5-i^T
Como cada uiv5-i^T é posto 1, A é soma de quatro matrizes de posto 1. A afirmação é verdadeira.

Resposta

  1. Verdadeiro.
  2. Verdadeiro.
  3. Verdadeiro.
A = u1v4^T + u2v3^T + u3v2^T + u4v1^T

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