Estudar a posição relativa das retas e calcular a distância entre as retas r:x-33=y-53=z-1-8 e s:lx=-2+3 t y=-t z=-2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a posição relativa das retas
r:x-33=y-53=z-1-8
e
s: x=-2+3t, y=-t, z=-2,
ou seja, determinar se são paralelas, concorrentes ou reversas (esparsas) e, nesse último caso, calcular a distância entre elas. Vamos usar geometria analítica em R^3: extrair direções, testar paralelismo e interseção, e usar a fórmula da distância entre retas reversas.

Passo 2

Extraímos para cada reta um ponto e um vetor direção.
Para
logo um ponto em , o ponto em é
e o vetor direção é

Passo 3

Verificamos paralelismo: duas retas são paralelas se seus vetores direção são proporcionais, isto é, vec vr=alpha,vec vs para algum escalar alpha.
Aqui
vec vr=(3,3,-8), vec vs=(3,-1,0)
Não existe alpha tal que (3,3,-8)=alpha,(3,-1,0), pois o terceiro componente de vec vs é zero. Logo, r e s não são paralelas.

Passo 4

Testamos se há interseção resolvendo
3+3lambda=-2+3t, 5+3lambda=-t, 1-8lambda=-2
Da terceira equação vem
1-8lambda=-2implies -8lambda=-3implies lambda=tfrac38
Substituindo em 5+3lambda=-t
5+tfrac98=-timplies t=-tfrac498
Mas na primeira equação
3+3cdottfrac38=tfrac338, -2+3l(-tfrac498r)=-tfrac1638,
que não coincidem. Portanto não há ponto comum: as retas são reversas (não paralelas e sem interseção).

Passo 5

Para vertor reversas, a distância entre elas é
d=l|,(Ps-Pr)cdot(vec vrtimesvec vs)r||vec vrtimesvec vs|
Calculamos
Ps-Pr=(-2-3,;0-5,;-2-1)=(-5,-5,-3),
vec vrtimesvec vs =det i& j& k3&3&-83&-1&0 =(-8,-24,-12),
(Ps-Pr)cdot(vec vrtimesvec vs) =(-5)(-8)+(-5)(-24)+(-3)(-12)=40+120+36=196,
|vec vrtimesvec vs|=raiz(-8)^2+(-24)^2+(-12)^2 =raiz64+576+144=raiz784=28
Logo
d=19628=7

Resposta

As retas r e s são reversas (esparsas) e a distância entre elas é 7.

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