1. (a) Considerando a função f: R-^* R, dada por f(x)=2 x-4raizx^2+x, determine os pontos nos quais suas assíntotas se interceptam.
    (b) A assíntota horizontal intercepta a curva? Em que ponto isto acontece?
    (c) A função f(x)=lx^4 sen(1x), se x neq 0, 0, se x=0 é contínua em R ? Justifique corretamente sua resposta.

Passo 1

O enunciado contém três questões. Na parte (a) e (b) temos
– a função
f(x)=2x-4raizx^2+x
definida originalmente em R-^*, mas cujo domínio real efetivo vem de x^2+x>0, e precisamos identificar as assíntotas verticais e horizontais, o ponto em que essas retas se cruzam e se a assíntota horizontal intercepta o gráfico.
Na parte (c) analisaremos a continuidade da função
g(x)= x^4sinl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0,
usando limites e o teorema do confronto.

Passo 2

Determinar o domínio de f e a assíntota vertical.
Para que f(x) faça sentido, precisamos de
x^2+x>0;Longrightarrow;x(x+1)>0;Longrightarrow;x<-1;ou;x>0
Como f foi definida em R-^*, intersectamos com x<0 e obtemos
Domínio de f:;(-infty,-1) í
Em x=-1 o denominador vai a zero e
limxto(-1)^-f(x)=pminfty,
logo há assíntota vertical na reta
x=-1

Passo 3

Determinar a assíntota horizontal.
Estudamos
limxto-inftyf(x) =limxto-infty2x-4raizx^2+x =limxto-infty2x-4|x|raiz1+1/x =limxto-infty2x-4(-x),raiz1+1/x =-2
Portanto a assíntota horizontal é
y=-2

Passo 4

Encontrar o ponto de interseção das duas assíntotas.
A reta x=-1 e a reta y=-2 se cruzam no ponto
(-1,,-2)

Passo 5

Verificar se a assíntota horizontal intercepta o gráfico de f.
Resolvemos
2x-4raizx^2+x=-2
Multiplicando e elevando ao quadrado:
2x-4=-2raizx^2+x ;Longrightarrow;(2x-4)^2=4(x^2+x) ;Longrightarrow;x=tfrac45
Porém tfrac45 não pertence ao domínio (-infty,-1). Logo não há interseção entre a reta y=-2 e o gráfico de f.

Passo 6

Analisar a continuidade de
g(x)= x^4sinl(tfrac1xr),&xneq0, 0,&x=0
Para xneq0, x^4 e sin(1/x) são contínuas, então g é contínua em Rsetminus0.
Em xto0, usa-se o teorema do confronto:
l|x^4sinl(tfrac1xr)r|<=|x^4|Longrightarrowlimxto0x^4sinl(tfrac1xr)=0
Como g(0)=0, o limite coincide com o valor da função em 0, e g é contínua em x=0.

Resposta

(a) As assíntotas são x=-1 (vertical) e y=-2 (horizontal), que se interceptam em l(-1,-2r).
(b) A reta y=-2 não intercepta o gráfico de f no seu domínio (-infty,-1) (a única solução formal seria x=tfrac45, mas tfrac45notin(-infty,-1)).
(c) Sim, g é contínua em todo R.

Exercícios relacionados