Sabendo-se que a função diferenciável z=f(x, y) é definida pela equação abaixo implicitamente, determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} :
\operatorname{h}(x y) \cdot \operatorname{sen}(x z)=2 \operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função z=f(x,y) (diferenciável) definida implicitamente pela equação
\operatorname{h}(x y)\cdot \operatorname{sen}(x z)=2\operatorname{tg}(x).
O que nos pedem são as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações importantes fornecidas:
  • z depende de x e y: z=z(x,y).
  • \operatorname{h} é uma função diferenciável (usaremos sua derivada h' avaliada em xy).
  • A igualdade vale para todos os pontos considerados, então podemos derivar implicitamente ambos os lados.
    Nenhuma outra informação é pedida; vamos diferenciar implicitamente para obter \partial z/\partial x e \partial z/\partial y.

Passo 2

Plano para obter \dfrac{\partial z}{\partial x}: derivar a equação mantendo y constante (definição de derivada parcial em relação a x). Ao derivar o produto \operatorname{h}(xy)\cdot \operatorname{sen}(xz) usaremos a regra do produto; ao derivar composições usaremos a regra da cadeia.
Lembrete rápido das regras usadas (explicação didática):
  • Regra do produto: se U(x) e V(x) dependem de x, então \dfrac{d}{dx}[U\cdot V]=U'\cdot V + U\cdot V'.
  • Regra da cadeia: se U(t)=h(t) e t=g(x), então \dfrac{d}{dx}h(g(x))=h'(g(x))\cdot g'(x).
  • Derivadas trigonométricas básicas: \dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u' e \dfrac{d}{dx}\tan(x)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 3

Aplicando as regras para derivar em relação a x (com y fixo).
Primeiro identifico U(x)=\operatorname{h}(xy) e V(x)=\operatorname{sen}(xz).
  • Derivada de U(x)=\operatorname{h}(xy) pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\operatorname{h}(xy)=\operatorname{h}'(xy)\cdot\frac{d}{dx}(xy)=\operatorname{h}'(xy)\cdot y,
porque y é constante ao derivar em relação a x.
  • Derivada de V(x)=\operatorname{sen}(xz) pela regra da cadeia; primeiro u(x)=xz e
\frac{d}{dx}(xz)=\frac{d}{dx}(x\cdot z(x,y))=1\cdot z + x\cdot \frac{\partial z}{\partial x},
pois ao derivar x\cdot z(x,y) usamos a regra do produto (o primeiro fator x tem derivada 1; o segundo fator z depende de x). Assim
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(xz)=\cos(xz)\cdot\big(z + x\,\frac{\partial z}{\partial x}\big).
Agora aplico a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big[\operatorname{h}(xy)\operatorname{sen}(xz)\big]=\operatorname{h}'(xy)\,y\cdot\operatorname{sen}(xz)+\operatorname{h}(xy)\cdot\cos(xz)\big(z + x\,\frac{\partial z}{\partial x}\big).
A derivada do lado direito \,2\operatorname{tg}(x)\, é
\frac{d}{dx}\big[2\operatorname{tg}(x)\big]=2\operatorname{sec}^2(x).
Portanto, a igualdade das derivadas dá:
\operatorname{h}'(xy)\,y\operatorname{sen}(xz)+\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\big(z + x\,\frac{\partial z}{\partial x}\big)=2\operatorname{sec}^2(x).

Passo 4

Isolar \dfrac{\partial z}{\partial x} a partir da equação do passo anterior.
Expandindo o termo com \frac{\partial z}{\partial x}:
\operatorname{h}'(xy)\,y\operatorname{sen}(xz)+\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\,z + \operatorname{h}(xy)\cos(xz)\,x\,\frac{\partial z}{\partial x}=2\operatorname{sec}^2(x).
Passo para isolar \dfrac{\partial z}{\partial x}:
\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\,x\,\frac{\partial z}{\partial x} =2\operatorname{sec}^2(x)-\operatorname{h}'(xy)\,y\operatorname{sen}(xz)-\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\,z.
Finalmente,
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{2\operatorname{sec}^2(x)-\operatorname{h}'(xy)\,y\operatorname{sen}(xz)-\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\,z}{x\,\operatorname{h}(xy)\cos(xz)}.
Observação rápida: essa fórmula requer x\,\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\neq 0 para fazer a divisão; se algum desses fatores for zero a situação precisa ser tratada caso a caso, mas o enunciado assume função diferenciável e igualdade bem posta.

Passo 5

Agora para \dfrac{\partial z}{\partial y}: derivamos a equação original em relação a y, mantendo x constante.
Novamente usemos a regra do produto com U(y)=\operatorname{h}(xy) e V(y)=\operatorname{sen}(xz), lembrando que agora x é constante e z=z(x,y) depende de y.
  • Derivada de U(y)=\operatorname{h}(xy) em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{h}(xy)=\operatorname{h}'(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xy)=\operatorname{h}'(xy)\cdot x.
  • Derivada de V(y)=\operatorname{sen}(xz) em relação a y: use a regra da cadeia com u(y)=xz. Como x é constante,
\frac{\partial}{\partial y}(xz)=x\cdot\frac{\partial z}{\partial y},
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\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(xz)=\cos(xz)\cdot x\,\frac{\partial z}{\partial y}.
Aplicando a regra do produto e derivando o lado direito (que é constante em y), obtemos:
\operatorname{h}'(xy)\,x\operatorname{sen}(xz)+\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\,x\,\frac{\partial z}{\partial y}=0,
porque \dfrac{\partial}{\partial y}[2\operatorname{tg}(x)]=0 (não depende de y).

Passo 6

Isolar \dfrac{\partial z}{\partial y} a partir da equação do passo anterior.
A equação é
x\Big(\operatorname{h}'(xy)\operatorname{sen}(xz)+\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\,\frac{\partial z}{\partial y}\Big)=0.
Podemos simplificar cancelando o fator x (assumindo configuração regular; novamente se x=0 a análise particular muda, mas a fórmula abaixo é a forma geral quando se pode dividir por x):
\operatorname{h}'(xy)\operatorname{sen}(xz)+\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\,\frac{\partial z}{\partial y}=0.
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\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\operatorname{h}'(xy)\operatorname{sen}(xz)}{\operatorname{h}(xy)\cos(xz)}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2\operatorname{sec}^{2}(x)-\operatorname{h}'(xy)\,y\operatorname{sen}(xz)-\operatorname{h}(xy)\cos(xz)\,z}{x\,\operatorname{h}(xy)\cos(xz)}\n
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\operatorname{h}'(xy)\operatorname{sen}(xz)}{\operatorname{h}(xy)\cos(xz)}

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