Sabendo-se que a função diferenciável
é definida pela equação abaixo implicitamente, determine
e
:
Passo 1
O enunciado dá a função
(diferenciável) definida implicitamente pela equação
O que nos pedem são as derivadas parciais
e
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
-
depende de e : . -
é uma função diferenciável (usaremos sua derivada avaliada em ). - A igualdade vale para todos os pontos considerados, então podemos derivar implicitamente ambos os lados.
Nenhuma outra informação é pedida; vamos diferenciar implicitamente para obtere .
Passo 2
Plano para obter
: derivar a equação mantendo
constante (definição de derivada parcial em relação a
). Ao derivar o produto
usaremos a regra do produto; ao derivar composições usaremos a regra da cadeia.
Lembrete rápido das regras usadas (explicação didática):
- Regra do produto: se
e dependem de , então . - Regra da cadeia: se
e , então . - Derivadas trigonométricas básicas:
e .
Passo 3
Aplicando as regras para derivar em relação a
(com
fixo).
Primeiro identifico
e
.
- Derivada de
pela regra da cadeia:
porque
é constante ao derivar em relação a
.
- Derivada de
pela regra da cadeia; primeiro e
pois ao derivar
usamos a regra do produto (o primeiro fator
tem derivada 1; o segundo fator
depende de
). Assim
Agora aplico a regra do produto:
A derivada do lado direito
é
Portanto, a igualdade das derivadas dá:
Passo 4
Isolar
a partir da equação do passo anterior.
Expandindo o termo com
:
Passo para isolar
:
Finalmente,
Observação rápida: essa fórmula requer
para fazer a divisão; se algum desses fatores for zero a situação precisa ser tratada caso a caso, mas o enunciado assume função diferenciável e igualdade bem posta.
Passo 5
Agora para
: derivamos a equação original em relação a
, mantendo
constante.
Novamente usemos a regra do produto com
e
, lembrando que agora
é constante e
depende de
.
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a : use a regra da cadeia com . Como é constante,
logo
Aplicando a regra do produto e derivando o lado direito (que é constante em
), obtemos:
porque
(não depende de
).
Passo 6
Isolar
a partir da equação do passo anterior.
A equação é
Podemos simplificar cancelando o fator
(assumindo configuração regular; novamente se
a análise particular muda, mas a fórmula abaixo é a forma geral quando se pode dividir por
):
Logo