Sabendo-se que a função diferenciável
é definida pela equação abaixo implicitamente, determine
e
:
Passo 1
O enunciado dá uma função
(diferenciável) definida implicitamente pela equação
O que nos pedem são as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A igualdade acima vale para todos os pares
do domínio considerado, com sendo a função . - Devemos tratar
como função de duas variáveis ao diferenciar (ou seja, quando diferenciamos em relação a ou aparecem termos com ou ). - Não foi dado valor numérico nem figura; a solução será simbólica em termos de
.
Passo 2
Idea central (sem yet resolver): para obter
e
vamos diferenciar a igualdade implícita em relação a
e, separadamente, em relação a
. Ao fazer isso usamos duas ferramentas básicas:
- Regra da cadeia: se
é composta por , então . - Regra do produto:
.
Vou aplicar essas regras passo a passo, lembrando quedepende de e (logo e aparecerão).
Passo 3
Diferenciação em relação a
(lado esquerdo):
A função do lado esquerdo é . Aplicando a regra da cadeia:
A função do lado esquerdo é
Agora
é um produto onde
varia e
também varia com
, então
Portanto o lado esquerdo dá
Passo 4
Diferenciação em relação a
(lado direito):
O lado direito é . Aplicando a regra do produto:
O lado direito é
Calculamos cada termo:
-
. -
(regra da cadeia, depende de ).
Portanto
Passo 5
Igualando derivadas (derivada implícita em
) e organizando:
A igualdade original diferenciada em dá
A igualdade original diferenciada em
Agora vamos isolar
. Primeiro, expandimos o lado esquerdo:
Reagrupando os termos com
num lado:
Passo 6
Resolvendo para
:
Desde que o coeficiente de não seja zero (ou seja, estamos em pontos onde
), temos
Desde que o coeficiente de
Opcionalmente multiplicando numerador e denominador por
para remover o sinal no denominador:
Ambas expressões são equivalentes; vou usar a primeira forma (mais direta da manipulação).
Passo 7
Agora repetimos o procedimento para
.
Diferenciando a igualdade original em relação a
:
Lado esquerdo
:
Aqui
(pois
é tratado como constante ao derivar em relação a
). Logo
Passo 8
Lado direito
:
Usando produto:
Usando produto:
Calculamos:
-
. -
.
Portanto
Passo 9
Igualando derivadas (derivada implícita em
) e organizando:
Reagrupando termos com
:
Passo 10
Resolvendo para
:
Assumindo novamente que o coeficiente não é zero, obtemos
Assumindo novamente que o coeficiente não é zero, obtemos
Multiplicando numerador e denominador por
para forma alternativa: