Sabendo-se que a função diferenciável z=f(x, y) é definida pela equação abaixo implicitamente, determine \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} :
\cos (x z)=\operatorname{sen}(y x) \cdot z^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma função z=f(x,y) (diferenciável) definida implicitamente pela equação
\cos(xz)=\operatorname{sen}(yx)\cdot z^{2}.
O que nos pedem são as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A igualdade acima vale para todos os pares (x,y) do domínio considerado, com z sendo a função z(x,y).
  • Devemos tratar z como função de duas variáveis ao diferenciar (ou seja, quando diferenciamos em relação a x ou y aparecem termos com z_x ou z_y).
  • Não foi dado valor numérico nem figura; a solução será simbólica em termos de x,y,z.

Passo 2

Idea central (sem yet resolver): para obter \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} vamos diferenciar a igualdade implícita em relação a x e, separadamente, em relação a y. Ao fazer isso usamos duas ferramentas básicas:
  • Regra da cadeia: se h(u) é composta por u(x,y), então \dfrac{\partial}{\partial x}h(u(x,y)) = h'(u(x,y))\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.
  • Regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(a\cdot b)=a_x\cdot b + a\cdot b_x.
    Vou aplicar essas regras passo a passo, lembrando que z depende de x e y (logo \dfrac{\partial z}{\partial x}=z_x e \dfrac{\partial z}{\partial y}=z_y aparecerão).

Passo 3

Diferenciação em relação a x (lado esquerdo):
A função do lado esquerdo é \cos(xz). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\cos(xz) = -\operatorname{sen}(xz)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(xz).
Agora \dfrac{\partial}{\partial x}(xz) é um produto onde x varia e z=z(x,y) também varia com x, então
\frac{\partial}{\partial x}(xz)= z + x\cdot z_x.
Portanto o lado esquerdo dá
\frac{\partial}{\partial x}\cos(xz) = -\operatorname{sen}(xz)\bigl(z + x z_x\bigr).

Passo 4

Diferenciação em relação a x (lado direito):
O lado direito é \operatorname{sen}(yx)\cdot z^{2}. Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}(yx)\cdot z^{2}\bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(yx)\cdot z^{2}+\operatorname{sen}(yx)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(z^{2}).
Calculamos cada termo:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(yx)=\cos(yx)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(yx)=\cos(yx)\cdot y.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}(z^{2})=2z\cdot z_x (regra da cadeia, z depende de x).
    Portanto
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\operatorname{sen}(yx)\cdot z^{2}\bigr)= y\cos(yx)\cdot z^{2} + \operatorname{sen}(yx)\cdot 2z z_x.

Passo 5

Igualando derivadas (derivada implícita em x) e organizando:
A igualdade original diferenciada em x
-\operatorname{sen}(xz)\bigl(z + x z_x\bigr)= y\cos(yx)\cdot z^{2} + 2\operatorname{sen}(yx)\, z\, z_x.
Agora vamos isolar z_x. Primeiro, expandimos o lado esquerdo:
-\operatorname{sen}(xz)\,z - x\operatorname{sen}(xz)\, z_x = y\cos(yx)\, z^{2} + 2\operatorname{sen}(yx)\, z\, z_x.
Reagrupando os termos com z_x num lado:
\bigl(-x\operatorname{sen}(xz) - 2\operatorname{sen}(yx)\, z\bigr) z_x = y\cos(yx)\, z^{2} + \operatorname{sen}(xz)\, z.

Passo 6

Resolvendo para z_x:
Desde que o coeficiente de z_x não seja zero (ou seja, estamos em pontos onde -x\operatorname{sen}(xz) - 2\operatorname{sen}(yx)\, z \neq 0), temos
z_x = \frac{y\cos(yx)\, z^{2} + \operatorname{sen}(xz)\, z}{-x\operatorname{sen}(xz) - 2\operatorname{sen}(yx)\, z}.
Opcionalmente multiplicando numerador e denominador por -1 para remover o sinal no denominador:
z_x = \frac{-\,y\cos(yx)\, z^{2} - \operatorname{sen}(xz)\, z}{x\operatorname{sen}(xz) + 2\operatorname{sen}(yx)\, z}.
Ambas expressões são equivalentes; vou usar a primeira forma (mais direta da manipulação).

Passo 7

Agora repetimos o procedimento para \dfrac{\partial z}{\partial y}=z_y.
Diferenciando a igualdade original em relação a y:
Lado esquerdo \cos(xz):
\frac{\partial}{\partial y}\cos(xz) = -\operatorname{sen}(xz)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(xz).
Aqui \dfrac{\partial}{\partial y}(xz)= x\cdot z_y (pois x é tratado como constante ao derivar em relação a y). Logo
\frac{\partial}{\partial y}\cos(xz) = -x\operatorname{sen}(xz)\, z_y.

Passo 8

Lado direito \operatorname{sen}(yx)\cdot z^{2}:
Usando produto:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\operatorname{sen}(yx)\cdot z^{2}\bigr)=\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(yx)\cdot z^{2}+\operatorname{sen}(yx)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(z^{2}).
Calculamos:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(yx)=\cos(yx)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(yx)=\cos(yx)\cdot x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}(z^{2})=2z\cdot z_y.
    Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\operatorname{sen}(yx)\cdot z^{2}\bigr)= x\cos(yx)\, z^{2} + 2\operatorname{sen}(yx)\, z\, z_y.

Passo 9

Igualando derivadas (derivada implícita em y) e organizando:
- x\operatorname{sen}(xz)\, z_y = x\cos(yx)\, z^{2} + 2\operatorname{sen}(yx)\, z\, z_y.
Reagrupando termos com z_y:
\bigl(- x\operatorname{sen}(xz) - 2\operatorname{sen}(yx)\, z\bigr) z_y = x\cos(yx)\, z^{2}.

Passo 10

Resolvendo para z_y:
Assumindo novamente que o coeficiente não é zero, obtemos
z_y = \frac{x\cos(yx)\, z^{2}}{- x\operatorname{sen}(xz) - 2\operatorname{sen}(yx)\, z}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 para forma alternativa:
z_y = \frac{-x\cos(yx)\, z^{2}}{x\operatorname{sen}(xz) + 2\operatorname{sen}(yx)\, z}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y\cos(yx)\, z^{2} + \operatorname{sen}(xz)\, z}{-x\operatorname{sen}(xz) - 2\operatorname{sen}(yx)\, z}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{x\cos(yx)\, z^{2}}{-x\operatorname{sen}(xz) - 2\operatorname{sen}(yx)\, z}

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