Determine uma equação para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros x^2+y^2=25 e y^2+z^2=20 no ponto (3,4,-2).

Passo 1

O problema pede a reta tangente à curva que é a interseção dos cilindros x^2+y^2=25 e y^2+z^2=20 no ponto (3,4,-2). O conteúdo principal envolve curvas de interseção de superfícies, vetores gradiente e produto vetorial para achar a direção da reta.

Passo 2

Vamos representar cada cilindro como uma função implícita:
F1(x,y,z)=x^2+y^2-25=0,
F2(x,y,z)=y^2+z^2-20=0
Como a curva é a interseção F1=0 e F2=0, seu vetor tangente v é perpendicular a ambos os gradientes.

Passo 3

Calculamos os gradientes e avaliamos em (3,4,-2):
nabla F1=(2x,2y,0)=(6,8,0),
nabla F2=(0,2y,2z)=(0,8,-4)
Aqui usamos que o gradiente aponta na direção de maior variação de cada função.

Passo 4

O vetor tangente v é dado pelo produto vetorial
v=nabla F1timesnabla F2=(6,8,0)times(0,8,-4)
Fazendo o cálculo:
v=(-32,24,48)

Passo 5

Para simplificar, podemos dividir por 8 e obter o vetor direção
$$\mathbf{v}=(-4,3,6).
$$
Qualquer múltiplo não-nulo serve como direção da reta.

Passo 6

Finalmente, a equação paramétrica da reta tangente, passando por (3,4,-2) e com direção (-4,3,6), é dada por
$$\mathbf{r}(t)=(3,4,-2)+t(-4,3,6).
$$

Resposta

A reta tangente é r(t)=(3,4,-2)+t(-4,3,6).

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