Determine uma equação para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros
e
no ponto
.
Passo 1
O problema pede a reta tangente à curva que é a interseção dos cilindros
e
no ponto
. O conteúdo principal envolve curvas de interseção de superfícies, vetores gradiente e produto vetorial para achar a direção da reta.
Passo 2
Vamos representar cada cilindro como uma função implícita:
Como a curva é a interseção
Passo 3
Calculamos os gradientes e avaliamos em
:
Aqui usamos que o gradiente aponta na direção de maior variação de cada função.
Passo 4
O vetor tangente
é dado pelo produto vetorial
Fazendo o cálculo:
Passo 5
Para simplificar, podemos dividir por 8 e obter o vetor direção
$$\mathbf{v}=(-4,3,6).
$$
Qualquer múltiplo não-nulo serve como direção da reta.
Qualquer múltiplo não-nulo serve como direção da reta.
Passo 6
Finalmente, a equação paramétrica da reta tangente, passando por
e com direção
, é dada por
$$\mathbf{r}(t)=(3,4,-2)+t(-4,3,6).
$$
Resposta
A reta tangente é
.