Use séries de Maclaurin para resolver a integral integral0^1 1-cos xx^2 d x (use aproximação de 3 casas decimais)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral I=integral0^11-cos xx^2,dx usando séries de Maclaurin. Vamos precisar da expansão em série de cos x e depois integrar termo a termo para obter um somatório que converge para I.

Passo 2

A série de Maclaurin de cos x é dada por:
cos x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!
Então
1-cos x=sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n(2n)!

Passo 3

Dividindo por x^2 obtemos a série do integrando:
1-cos xx^2=sumn=1^infty(-1)^n+1x^2n-2(2n)!

Passo 4

Agora integramos termo a termo de 0 a 1, usando integral0^1x^2n-2dx=12n-1. Assim:
I=sumn=1^infty(-1)^n+11(2n)!(2n-1)

Passo 5

Para aproximar numericamente, somamos os primeiros termos:
n=1: (+1)/(2!·1)=0{,}500000\
n=2: (-1)/(4!·3)=-0{,}013889\
n=3: (+1)/(6!·5)=0{,}000278\
n=4: (-1)/(8!·7)=-0{,}000004\
Somando até n=4 dá aproximadamente 0,486385.

Passo 6

Com três casas decimais, a integral vale aproximadamente 0,486.

Resposta

0,486

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