Calcule o comprimento da curva cujo vetor posição é r(t)=sen(t) i+2 sen(t) j+3 sen(t) k, sendo 0 <= t <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco de uma curva definida por r(t)=sin(t),i+2sin(t),j+3sin(t),k no intervalo 0<= t<=tfracpi2. O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas paramétricas, e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^bllVertr'(t)rrVert,dt

Passo 2

Para aplicar a fórmula, primeiro calculamos a derivada vetor r'(t). Derivando cada componente:
r'(t)=ddt[sin(t)],i+2ddt[sin(t)],j+3ddt[sin(t)],k=cos(t),i+2cos(t),j+3cos(t),k

Passo 3

Agora precisamos do módulo de r'(t). Como todas as componentes têm fator cos(t), podemos fatorar:
llVertr'(t)rrVert=llVertcos(t)(1,2,3)rrVert=|cos(t)|raiz1^2+2^2+3^2=|cos(t)|raiz14
No intervalo [0,tfracpi2], cos(t)>=0, então |cos(t)|=cos(t).

Passo 4

Substituímos em L=integral0^pi/2lVertr'(t)rVert,dt:
L=integral0^pi/2raiz14,cos(t),dt=raiz14integral0^pi/2cos(t),dt
Essa integral é simples, pois
integral0^pi/2cos(t),dt=l[sin(t)r]0^pi/2=1-0=1

Passo 5

Portanto, o comprimento de arco é simplesmente
L=raiz14cdot1=raiz14

Resposta

raiz14

Exercícios relacionados