Verifique as seguintes identidades (use um sistema retangular):
(a times b) times c=(a cdot c) b-(b cdot c) cdot a

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando um sistema de coordenadas retangulares, a identidade vetorial
[(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c} = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a}.
O conteúdo envolvido é produto vetorial e produto escalar em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Vamos representar os vetores em coordenadas retangulares como
a = (ax,ay,az), b = (bx,by,bz), c = (cx,cy,cz)
Também precisamos lembrar que, para dois vetores u=(ux,uy,uz) e v=(vx,vy,vz), vale
utimesv = (uy vz - uz vy,;uz vx - ux vz,;ux vy - uy vx)
e
ucdotv = ux vx + uy vy + uz vz

Passo 3

Primeiro, calculamos
atimesb = (ay bz - az by,;az bx - ax bz,;ax by - ay bx)
Denotemos este vetor por d=(dx,dy,dz) com
dx = ay bz - az by, dy = az bx - ax bz, dz = ax by - ay bx

Passo 4

Agora usamos dtimesc. Como para qualquer d vale
(dtimesc)x = dy cz - dz cy, (dtimesc)y = dz cx - dx cz, (dtimesc)z = dx cy - dy cx,
temos
(atimesb)timesc = l(dy cz - dz cy, ;dz cx - dx cz, ;dx cy - dy cxr)

Passo 5

Substituindo dx,dy,dz e reorganizando, obtemos as componentes de (atimesb)timesc:
(x) &az bx cz - ax bz cz - ax by cy + ay bx cy, (y) &ax by cx - ay bx cx - ay bz cz + az by cz, (z) &ay bz cy - az by cy - az bx cx + ax bz cx

Passo 6

Agora calculamos o lado direito:
acdot c = ax cx + ay cy + az cz, bcdot c = bx cx + by cy + bz cz,
portanto
(acdotc)b - (bcdotc)a = l(bi(acdot c) - ai(bcdot c)r)i=x,y,z
Para i=x
ay bx cy + az bx cz - ax by cy - ax bz cz,
e assim por diante para i=y,z.

Passo 7

Comparando componente a componente vemos que tanto o lado esquerdo quanto o direito têm exatamente as mesmas expressões em x, y e z. Logo, a identidade está verificada.

Resposta

(atimesb)timesc = (acdotc)b - (bcdotc)a

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