Verifique as seguintes identidades (use um sistema retangular):
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando um sistema de coordenadas retangulares, a identidade vetorial
[(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c} = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})\mathbf{a}.
O conteúdo envolvido é produto vetorial e produto escalar em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Vamos representar os vetores em coordenadas retangulares como
Também precisamos lembrar que, para dois vetores
e
, vale
e
Passo 3
Primeiro, calculamos
Denotemos este vetor por
com
Passo 4
Agora usamos
. Como para qualquer
vale
temos
Passo 5
Substituindo
e reorganizando, obtemos as componentes de
:
Passo 6
Agora calculamos o lado direito:
portanto
Para
dá
e assim por diante para
.
Passo 7
Comparando componente a componente vemos que tanto o lado esquerdo quanto o direito têm exatamente as mesmas expressões em x, y e z. Logo, a identidade está verificada.