Determine a equação da reta tangente à curva:
(4)
lx(t)=cos t y(t)=sen t cos t, no ponto (0,0).

Passo 1

Temos a curva paramétrica C dada por x(t)=cos t e y(t)=sin tcos t. Queremos achar a reta tangente no ponto (0,0). Para isso vamos usar derivadas paramétricas e a fórmula dydx=dydtdxdt.

Passo 2

Precisamos encontrar os valores de t para os quais x(t)=0 e y(t)=0. Da equação cos t=0 obtemos t=pi2+kpi. Para esses t, y(t)=sin tcos t=0, logo o ponto é mesmo (0,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas em função de t:
dxdt=-sin t e
dydt=ddt(sin tcos t)=cos^2 t-sin^2 t.

Passo 4

Avaliamo-las nos dois valores de t:
Para t=pi2:
dxdt=-1, dydt=-1 m=dy/dtdx/dt=1.
Para t=3pi2:
dxdt=1, dydt=-1 m=-1.

Passo 5

A equação da reta tangente em (0,0) é dada por y-0=m(x-0). Substituindo os dois valores de m, obtemos as retas y=x e y=-x.

Resposta

y=x e y=-x

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