Dada a função vetorial
a) Determine o domínio de
b) Calcule
se existe.
c) Determine os pontos de descontinuidade de
.
b) Calcule
c) Determine os pontos de descontinuidade de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar uma função vetorial
que tem três componentes diferentes. O conteúdo aqui envolve conceitos de cálculo, como domínio, limites e continuidade de funções. Para resolver as questões, vamos precisar entender como determinar o domínio de cada componente da função, calcular limites e identificar pontos onde a função pode não ser contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função vetorial é o conjunto de valores de
para os quais todas as componentes da função estão bem definidas.
Passo 3
Vamos analisar cada componente da função separadamente:
-
: - A expressão dentro da raiz quadrada,
, deve ser maior ou igual a zero. - Então,
.
- A expressão dentro da raiz quadrada,
-
: - O denominador
nunca é zero, exceto quando . - No entanto, no numerador temos
, então a expressão simplifica para , que está definida para todo exceto .
- O denominador
-
: - A expressão
exige que . - No denominador,
. Como é sempre positivo e maior que 1 para , o denominador nunca é zero quando .
- A expressão
Passo 4
Com base na análise acima, o domínio da função
é o conjunto de valores de
que satisfazem todas as condições das componentes.
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Portanto, combinando todas as restrições:
-
deve ser maior ou igual a 0 (de ) e menor ou igual a 1 (de ). - Além disso,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite
, se ele existir.
Vamos calcular o limite de cada componente individualmente:
-
: - Substituindo
: .
- Substituindo
-
: - Aqui, a expressão se torna
. - Sabemos que
, então . - Porém,
, então , que não é zero. Portanto, a expressão se aproxima de .
- Aqui, a expressão se torna
-
: - Quando
, . - O denominador
para próximo de 0. - Então, a expressão se aproxima de
.
- Quando
Passo 6
Finalmente, vamos determinar os pontos de descontinuidade da função
.
Analisando cada componente:
-
: - É contínua em todo o seu domínio
.
- É contínua em todo o seu domínio
-
: - A função é contínua para todo
. - No ponto
, temos uma descontinuidade, pois o denominador se aproxima de zero.
- A função é contínua para todo
-
: - É contínua para
. - No ponto
, precisamos verificar se o limite existe e coincide com o valor da função. Como a função se aproxima de 0 nesse ponto, e a função está definida para , não há descontinuidade aqui.
- É contínua para
Resposta
a) O domínio de
é
e
.
b)
.
c) A função
apresenta descontinuidade no ponto
.