Dada a função vetorial
f(t)=(raiz1-t^2, 1-cos ^2(t-14)(t-14)^2, raizt1-e^2 raizt)
a) Determine o domínio de f
b) Calcule lim t 0 f(t) se existe.
c) Determine os pontos de descontinuidade de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para analisar uma função vetorial f(t) que tem três componentes diferentes. O conteúdo aqui envolve conceitos de cálculo, como domínio, limites e continuidade de funções. Para resolver as questões, vamos precisar entender como determinar o domínio de cada componente da função, calcular limites e identificar pontos onde a função pode não ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função f(t). O domínio de uma função vetorial é o conjunto de valores de t para os quais todas as componentes da função estão bem definidas.

Passo 3

Vamos analisar cada componente da função separadamente:
  1. raiz1 - t^2:
    • A expressão dentro da raiz quadrada, 1 - t^2, deve ser maior ou igual a zero.
    • Então, 1 - t^2 >= 0 Rightarrow t^2 <= 1 Rightarrow -1 <= t <= 1.
  2. 1 - cos^2(t - 14)(t - 14)^2:
    • O denominador (t - 14)^2 nunca é zero, exceto quando t = 14.
    • No entanto, no numerador temos 1 - cos^2(x) = sin^2(x), então a expressão simplifica para sin^2(t - 14)(t - 14)^2, que está definida para todo t exceto t = 14.
  3. raizt1 - e^2raizt:
    • A expressão raizt exige que t >= 0.
    • No denominador, 1 - e^2raizt neq 0. Como e^2raizt é sempre positivo e maior que 1 para t > 0, o denominador nunca é zero quando t > 0.

Passo 4

Com base na análise acima, o domínio da função f(t) é o conjunto de valores de t que satisfazem todas as condições das componentes.
  • Para raiz1 - t^2: -1 <= t <= 1.
  • Para sin^2(t - 14)(t - 14)^2: t neq 14.
  • Para raizt1 - e^2raizt: t >= 0.
Portanto, combinando todas as restrições:
  • t deve ser maior ou igual a 0 (de raizt) e menor ou igual a 1 (de raiz1 - t^2).
  • Além disso, t neq 14.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite limt 0 f(t), se ele existir.
Vamos calcular o limite de cada componente individualmente:
  1. limt 0 raiz1 - t^2:
    • Substituindo t = 0: raiz1 - 0 = 1.
  2. limt 0 1 - cos^2(t - 14)(t - 14)^2:
    • Aqui, a expressão se torna sin^2(t - 14)(t - 14)^2.
    • Sabemos que limx 0 sin(x)x = 1, então limx 0 sin^2(x)x^2 = 1.
    • Porém, t 0, então t - 14 -14, que não é zero. Portanto, a expressão se aproxima de sin^2(-14)(-14)^2 = sin^2(14)(14)^2.
  3. limt 0 raizt1 - e^2raizt:
    • Quando t 0, raizt 0.
    • O denominador 1 - e^2raizt approx 1 - (1 + 2raizt) = -2raizt para t próximo de 0.
    • Então, a expressão se aproxima de 0-2raizt = 0.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar os pontos de descontinuidade da função f(t).
Analisando cada componente:
  1. raiz1 - t^2:
    • É contínua em todo o seu domínio [-1, 1].
  2. sin^2(t - 14)(t - 14)^2:
    • A função é contínua para todo t neq 14.
    • No ponto t = 14, temos uma descontinuidade, pois o denominador se aproxima de zero.
  3. raizt1 - e^2raizt:
    • É contínua para t > 0.
    • No ponto t = 0, precisamos verificar se o limite existe e coincide com o valor da função. Como a função se aproxima de 0 nesse ponto, e a função está definida para t >= 0, não há descontinuidade aqui.

Resposta

a) O domínio de f é 0 <= t <= 1 e t neq 14.
b) limt 0 f(t) = (1, sin^2(14)(14)^2, 0).
c) A função f apresenta descontinuidade no ponto t = 14.

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