Considere a função, t neq 0 e, se f(t)=(1,0,-31) t=0, se f. O conjunto de pontos onde t in R ; t=0 não é contínua, é dado por:
a) emptyset.
b) t in R ; t neq 0. c) t in R ; t neq 2 k pi, k in Z.
d) .
e) .

Passo 1

O exercício define uma função vetorial por partes, f:RtoR^3 via
f(t)=l(cos t,;tsin(1/t),;e^t^2+3t-4t^3+16t^2raiz[5]10t^2r) para tneq0 e f(0)=(1,0,-31). O objetivo é achar onde f não é contínua, aplicando a teoria de continuidade de funções vetoriais, que depende de cada coordenada ser contínua.

Passo 2

Para tneq0, todas as três coordenadas são combinações de funções contínuas ( cos t, produto de t por sin(1/t), exponencial e razões envolvendo potências de t sem zerar o denominador). Logo, f é contínua em todo Rsetminus0.

Passo 3

Para testar continuidade em t=0, calculamos o limite de f(t) quando tto0 e comparamos com f(0)=(1,0,-31). As duas primeiras coordenadas dão:
limtto0cos t=1 e limtto0tsin(1/t)=0, que batem com f(0). A terceira coordenada é
limtto0e^t^2+3t-4t^3+16t^2raiz[5]10t^2
Notamos que
4t^3+16t^2(10t^2)^1/5 =t^2(4t+16)10^1/5|t|^2/5 =4t+1610^1/5|t|^8/5to0
quando tto0, e e^t^2+3tto1. Portanto o limite da terceira coordenada é 1-0=1, que difere de -31.

Passo 4

Como só em t=0 a coordenada 3 falha em coincidir com o valor definido, f só é descontínua em t=0.

Resposta

{t\in\mathbb{R};;t=0}

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