(3,5) Determine:
a equação da reta tangente à curva -y+x^2=2 y^2 no ponto (-1,1 / 2)
[1,0]
A equação será y-1 / 2=m(x+1), em que m=y^prime(-1) que obtemos derivando implicitamente:
-y^prime+2 x=4 y y^prime & Rightarrow & Rightarrow y^prime(1+4 y)=2 x & Rightarrow y^prime=2 x1+4 y
Para y=1 / 2, x=-1, temos m=-2 / 3. Portanto a equação da reta fica sendo
y-12=-23(x+1) & Rightarrow y=-23 x+12-23 & Rightarrow y=-23 x-16

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
-y + x^2 = 2y^2
no ponto l(-1,tfrac12r). O conteúdo principal é derivação implícita para obter a inclinação da reta, e em seguida usamos a forma ponto-inclinação para escrever a equação.

Passo 2

Diferenciando implicitamente ambos os lados de
-y + x^2 = 2y^2
em relação a x, temos: o derivado de -y é -y', de x^2 é 2x, e de 2y^2 é 4y,y'. Logo,
-y' + 2x = 4y,y'

Passo 3

Agora isolamos y'. Agrupando os termos com y' num lado:
2x = 4y,y' + y' = (4y + 1),y',
portanto
y' = 2x4y + 1

Passo 4

Avaliamo essa derivada no ponto l(-1,tfrac12r):
m = y'l(-1,tfrac12r) = 2cdot(-1)4cdottfrac12 + 1 = -22 + 1 = -23

Passo 5

Usando a forma ponto-inclinação y - y0=m(x - x0) com (x0,y0)=(-1,tfrac12) e m=-tfrac23, obtemos
y - tfrac12 = -tfrac23(x + 1)
Isolando y na forma y = ax + b:
y = -tfrac23x - tfrac23 + tfrac12 = -tfrac23x - tfrac16

Resposta

y = -23x - 16

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