Questão 2 (1,5 pontos)

Sem resolver faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável da EDO.
y^prime=y^2(y-1)(y-2)

Passo 1

O enunciado dá a EDO autonôma
y' = y^2(y-1)(y-2)
e pede (i) esboço das soluções em função do sinal de y', (ii) equações de equilíbrio e (iii) classificação de cada equilíbrio como estável, instável ou semi-estável. Vamos usar análise de pontos críticos e diagrama de sinais.

Passo 2

Encontramos as soluções de equilíbrio resolvendo
y^2(y-1)(y-2)=0
Logo os equilíbrios são
y=0, y=1, y=2

Passo 3

Para esboçar o fluxo no eixo y, analisamos o sinal de
y' = y^2(y-1)(y-2)
nos intervalos
(-infty,0),;(0,1),;(1,2),;(2,infty)
– Em (-infty,0): y^2>0, (y-1)<0, (y-2)<0 Rightarrow y'>0 (setas para cima).
– Em (0,1): y^2>0, (y-1)<0, (y-2)<0 Rightarrow y'>0.
– Em (1,2): y^2>0, (y-1)>0, (y-2)<0 Rightarrow y'<0.
– Em (2,infty): y^2>0, (y-1)>0, (y-2)>0 Rightarrow y'>0.

Passo 4

Classificação de cada equilíbrio usando o diagrama de sinais:
y=0: à esquerda ( y<0) temos y'>0 empurrando para 0; à direita ( 0<y<1) temos y'>0 afastando de 0. Como atrai de um lado e repele do outro, é semi-estável.
y=1: em (0,1) y'>0 empurra até 1; em (1,2) y'<0 empurra de volta para 1. Atrai de ambos os lados Rightarrow estável.
y=2: em (1,2) y'<0 afasta de 2 para baixo; em (2,infty) y'>0 afasta de 2 para cima. Repele de ambos os lados Rightarrow instável.

Resposta

As soluções de equilíbrio são
y=0(semi-estável), y=1(estável), y=2(instável) ááá

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