Questão 2 (1,5 pontos)
Sem resolver faça um esboço das soluções e encontre as soluções de equilíbrio, dizendo em cada caso se o equilíbrio é estável, instável ou semi-estável da EDO.
Passo 1
O enunciado dá a EDO autonôma
e pede (i) esboço das soluções em função do sinal de
, (ii) equações de equilíbrio e (iii) classificação de cada equilíbrio como estável, instável ou semi-estável. Vamos usar análise de pontos críticos e diagrama de sinais.
Passo 2
Encontramos as soluções de equilíbrio resolvendo
Logo os equilíbrios são
Passo 3
Para esboçar o fluxo no eixo
, analisamos o sinal de
nos intervalos
– Em
:
,
,
(setas para cima).
– Em :
,
,
.
– Em :
,
,
.
– Em :
,
,
.
– Em
– Em
– Em
Passo 4
Classificação de cada equilíbrio usando o diagrama de sinais:
– : à esquerda (
) temos
empurrando para
; à direita (
) temos
afastando de
. Como atrai de um lado e repele do outro, é semi-estável.
– : em
empurra até
; em
empurra de volta para
. Atrai de ambos os lados
estável.
– : em
afasta de
para baixo; em
afasta de
para cima. Repele de ambos os lados
instável.
–
–
–
Resposta
As soluções de equilíbrio são