Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções f:[0, pi] R :
f(theta)=1.

Passo 1

O enunciado pede as séries de meia-onda (half-range) de Fourier cosseno e seno da função f(theta)=1 definida em [0,pi]. Para isso vamos usar as fórmulas clássicas de coeficientes em meio-intervalo:
a0=2piintegral0^pif(theta),dtheta, an=2piintegral0^pif(theta)cos(ntheta),dtheta, bn=2piintegral0^pif(theta)sin(ntheta),dtheta

Passo 2

Cálculo dos coeficientes da série cosseno. Como f(theta)=1,
a0=2piintegral0^pi1,dtheta =2pi,pi =2,
logo o termo constante na expansão é a0/2=1. Para n>=1,
an=2piintegral0^picos(ntheta),dtheta =2pil[sin(ntheta)nr]0^pi =2pi,sin(npi)-0n =0

Passo 3

Como todos os an=0 para n>=1, a série de Fourier cosseno fica simplesmente
f(theta)=a02+sumn=1^inftyancos(ntheta) =1

Passo 4

Cálculo dos coeficientes da série seno. Para n>=1,
bn=2piintegral0^pisin(ntheta),dtheta =2pil[-cos(ntheta)nr]0^pi =2pi,1-(-1)^nn
Portanto bn=0 se n for par, e se n=2k+1 for ímpar,
b2k+1=2pi,1-(-1)^2k+12k+1 =2pi,22k+1 =4pi(2k+1)

Passo 5

A série de Fourier seno em [0,pi] fica
f(theta)=sumn=1^inftybnsin(ntheta) =sumk=0^infty4pi(2k+1), sinl((2k+1)thetar)

Resposta

Série de Fourier cosseno (meia-onda par):
f(theta)=1
Série de Fourier seno (meia-onda ímpar):
f(theta) =sumk=0^infty4pi(2k+1), sinl((2k+1)thetar)

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