Determine a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (x0, y0) :
(a) y=x^3+x+2, em (x0, y0)=(0,2);
(b) y=e^2 x, em (x0, y0)=(0,1).

Passo 1

A gente quer achar a reta tangente à curva y=f(x) no ponto (x0,y0). Para isso, usamos o conceito de derivada para encontrar a inclinação m=f'(x0) e depois aplicamos a fórmula da reta tangente abaixo:
y - y0 = m(x - x0)

Passo 2

Para o item (a), temos f(x)=x^3+x+2. Primeiro calculamos a derivada:
f'(x)=3x^2+1
Avaliando em x0=0
m=f'(0)=3cdot0^2+1=1
Agora aplicamos a fórmula da reta tangente em (0,2):
y - 2 = 1,(x - 0)
Simplificando, obtemos y=x+2.

Passo 3

Para o item (b), temos f(x)=e^2x. Primeiro calculamos a derivada usando regra da cadeia:
f'(x)=2e^2x
Avaliando em x0=0
m=f'(0)=2e^0=2
Aplicando a fórmula da reta tangente em (0,1):
y - 1 = 2,(x - 0)
Simplificando, obtemos y=2x+1.

Resposta

a) y=x+2 ; b) y=2x+1

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