Considere a formulação forte para o problema de condução de calor em uma placa circular:
k dd r(r d Td r)+r s=0 e m 0
em que R é o raio da placa, s é a fonte de calor por unidade de comprimento radial, T é a temperatura e k é a condutividade térmica.
Resolva a equação diferencial com condições de contorno e mostre que a distribuição de temperatura ao longo do raio é dada por:
T=s4 k(R^2-r^2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação ordinária em r obtida do modelo de condução de calor radial em regime permanente numa placa circular. O conteúdo envolvido é resolução de uma EDO de segunda ordem ordinária com simetria no centro (condição de contorno em r=0) e temperatura prescrita em r=R.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a equação diferencial dada:
k ddrl(r,T'r) + r,s = 0
onde usamos a notação T'=dT/dr.

Passo 3

Integramos a equação em r uma vez. Como
ddrl(r,T'r) = -skr,
integramos para obter
r,T' = -sk integral r,dr + C1 = -skr^22 + C1

Passo 4

Isolamos T':
T' = -s2kr + C1r
Para que T' permaneça finito em r=0 (condição de simetria T'(0)=0), devemos ter C1=0. Dessa forma
T' = -s2kr

Passo 5

Integramos novamente para obter T(r):
T(r) = -s2k integral r,dr + C2 = -s2kr^22 + C2 = -s4kr^2 + C2

Passo 6

Aplicamos a condição de contorno T(R)=0 para determinar C2:
0 = -s4kR^2 + C2 Rightarrow C2 = s4kR^2
Substituindo em T(r) obtemos a solução final.

Resposta

T(r)=s4kl(R^2 - r^2r)

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