Ex. 4. Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule , onde é sucessivamente dado por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações diferenciais ordinárias da forma dotx = A x, onde A é uma matriz dada. Além disso, precisamos calcular e^A t. Para isso, precisamos entender de matrizes, valores próprios e exponencial de matrizes. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A. Valores próprios são números lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade.
Igualando o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
(2-lambda)(lambda + 1)(lambda + 2) = 0
Portanto, os valores próprios são:
lambda1 = 2, lambda2 = -1, lambda3 = -2
Passo 5
Com os valores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema dotx = A x como uma combinação linear das soluções exponenciais associadas a cada valor próprio:
x(t) = c1 e^2tv1 + c2 e^-tv2 + c3 e^-2tv3
onde v1, v2, v3 são os vetores próprios correspondentes a cada lambda, e c1, c2, c3 são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos calcular o exponencial da matrize^A t. Para isso, usamos a diagonalização de A, ou seja, A = P D P^-1, onde D é a matriz diagonal com os valores próprios e P é a matriz dos vetores próprios.
Então:
e^A t = P e^D t P^-1
onde:
e^D t = e^2t & 0 & 0 0 & e^-t & 0 0 & 0 & e^-2t
Resposta
A solução geral do sistema dotx = A x é:
x(t) = c1 e^2tv1 + c2 e^-tv2 + c3 e^-2tv3
e o exponencial da matriz é dado por:
e^A t = P e^2t & 0 & 0 0 & e^-t & 0 0 & 0 & e^-2t P^-1
onde P é a matriz formada pelos vetores próprios de A.