Ex. 4. Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule e^A t: dotx=A x, onde A é sucessivamente dado por:
(lll2 & -3 & 3 4 & -5 & 3 4 & -4 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver um sistema de equações diferenciais ordinárias da forma dotx = A x, onde A é uma matriz dada. Além disso, precisamos calcular e^A t. Para isso, precisamos entender de matrizes, valores próprios e exponencial de matrizes. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A. Valores próprios são números lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade.
A matriz A dada é:
A = 2 & -3 & 3 4 & -5 & 3 4 & -4 & 2
Vamos calcular o determinante de A - lambda I:
det(A - lambda I) = det 2-lambda & -3 & 3 4 & -5-lambda & 3 4 & -4 & 2-lambda

Passo 3

Expandindo o determinante, temos:
det(A - lambda I) = (2-lambda)[(-5-lambda)(2-lambda) - 3(-4)] - (-3)[4(2-lambda) - 3 cdot 4] + 3[4(-4) - (-5-lambda)4]
Simplificando cada parte:
(2-lambda)[(lambda^2 + 3lambda - 10)] + 3[-4lambda - 4] + 3[-16 + 20 + 4lambda]
= (2-lambda)(lambda + 1)(lambda + 2)

Passo 4

Igualando o determinante a zero para encontrar os valores próprios:
(2-lambda)(lambda + 1)(lambda + 2) = 0
Portanto, os valores próprios são:
lambda1 = 2, lambda2 = -1, lambda3 = -2

Passo 5

Com os valores próprios encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema dotx = A x como uma combinação linear das soluções exponenciais associadas a cada valor próprio:
x(t) = c1 e^2tv1 + c2 e^-tv2 + c3 e^-2tv3
onde v1, v2, v3 são os vetores próprios correspondentes a cada lambda, e c1, c2, c3 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos calcular o exponencial da matriz e^A t. Para isso, usamos a diagonalização de A, ou seja, A = P D P^-1, onde D é a matriz diagonal com os valores próprios e P é a matriz dos vetores próprios.
Então:
e^A t = P e^D t P^-1
onde:
e^D t = e^2t & 0 & 0 0 & e^-t & 0 0 & 0 & e^-2t

Resposta

A solução geral do sistema dotx = A x é:
x(t) = c1 e^2tv1 + c2 e^-tv2 + c3 e^-2tv3
e o exponencial da matriz é dado por:
e^A t = P e^2t & 0 & 0 0 & e^-t & 0 0 & 0 & e^-2t P^-1
onde P é a matriz formada pelos vetores próprios de A.

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