Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
(b) y=11+x^2,(-1, 12) Resp: y=x2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \frac{1}{1+x^{2}} $ no ponto y = 11+x^2 . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta em um ponto específico de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto $ x $. A função é $ y = \frac{1}{1+x^{2}} $, então:
y
Agora, aplicamos a regra do poder para derivar:
x

Passo 3

Com a derivada encontrada, vamos calcular sua inclinação no ponto $ x = -1 $. Substituindo $ x = -1 $ na derivada:
x = -1
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é $ \frac{1}{2} $.

Passo 4

Agora que temos a inclinação $ m = \frac{1}{2} $ e um ponto $ (-1, \frac{1}{2}) $ pela qual a reta passa, vamos usar a fórmula da reta tangente:
m = 12
Substituindo os valores:
(-1, 12)
Agora, vamos simplificar:
y - y0 = m(x - x0)

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = \frac{x}{2} + 1 $.

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