Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
(b)
Resp:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva $ y = \frac{1}{1+x^{2}} $ no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta em um ponto específico de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, que nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto $ x $. A função é $ y = \frac{1}{1+x^{2}} $, então:
Agora, aplicamos a regra do poder para derivar:
Passo 3
Com a derivada encontrada, vamos calcular sua inclinação no ponto $ x = -1 $. Substituindo $ x = -1 $ na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é $ \frac{1}{2} $.
Passo 4
Agora que temos a inclinação $ m = \frac{1}{2} $ e um ponto $ (-1, \frac{1}{2}) $ pela qual a reta passa, vamos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Agora, vamos simplificar:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = \frac{x}{2} + 1 $.