Seja
Calcular a integral definida
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de uma função
entre os limites de -1 e 1. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente frações parciais, que nos ajuda a integrar funções racionais quebrando elas em partes mais simples. Vamos precisar encontrar a decomposição em frações parciais da função
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor
em frações parciais. A ideia é escrever
como a soma de duas frações: uma envolvendo o denominador
e outra envolvendo
.
Então, supomos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações:
-
→ -
→ - Substituindo
e na terceira equação:
Agora, encontramos:
Passo 5
Com os valores de
,
e
encontrados, podemos escrever a fração parcial:
Simplificando a segunda fração:
Passo 6
Agora, vamos reescrever a integral usando as frações parciais:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
-
-
: - Faça a substituição
, então . - A integral fica:
- Faça a substituição
-
Passo 8
Agora, juntando tudo, temos:
Vamos calcular nos limites de -1 a 1.
Passo 9
Calculando em
:
Calculando em
:
Resposta
Subtraindo os valores:
Portanto, a integral definida é: