Seja
f(x)=10(x+2)(x^2+1)
Calcular a integral definida
I=integral-1^1 f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de uma função entre os limites de -1 e 1. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente frações parciais, que nos ajuda a integrar funções racionais quebrando elas em partes mais simples. Vamos precisar encontrar a decomposição em frações parciais da função para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor 10(x+2)(x^2 + 1) = Ax+2 + Bx + Cx^2 + 1 em frações parciais. A ideia é escrever como a soma de duas frações: uma envolvendo o denominador e outra envolvendo .
Então, supomos que:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de 10 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 2) , 10 = A x^2 + A + Bx(x) + Bx(2) + C(x) + C(2) e 10 = A x^2 + A + B x^2 + 2B x + C x + 2C . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 10 = (A + B) x^2 + (2B + C) x + (A + 2C) :
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para o termo constante:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. -B + 2(-2B) = 10 -B -4B = 10 -5B = 10 B = -2
  2. Substituindo e na terceira equação:
Agora, encontramos:

Passo 5

Com os valores de 10(x+2)(x^2 + 1) = 2x+2 + -2x + 4x^2 + 1 , -2x + 4x^2 + 1 = -2 cdot xx^2 + 1 + 4 cdot 1x^2 + 1 e encontrados, podemos escrever a fração parcial:
Simplificando a segunda fração:

Passo 6

Agora, vamos reescrever a integral usando as frações parciais:
I = integral-1^1 ( 2x+2 - 2 cdot xx^2 + 1 + 4 cdot 1x^2 + 1 ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
  1. :
    • Faça a substituição , então .
    • A integral fica:

Passo 8

Agora, juntando tudo, temos:
I = [ 2 ln|x+2| - ln(x^2 + 1) + 4 tan^-1(x) ]-1^1
Vamos calcular nos limites de -1 a 1.

Passo 9

Calculando em 2 ln(1+2) - ln(1^2 + 1) + 4 tan^-1(1) = 2 ln(3) - ln(2) + 4 cdot pi4 = 2 ln(3) - ln(2) + pi :
2 ln(-1+2) - ln((-1)^2 + 1) + 4 tan^-1(-1) = 2 ln(1) - ln(2) + 4 cdot (-pi4) = 0 - ln(2) - pi
Calculando em :

Resposta

Subtraindo os valores:
I = (2 ln(3) - ln(2) + pi) - ( - ln(2) - pi ) = 2 ln(3) + 0 + 2pi
Portanto, a integral definida é:
I = 2 ln(3) + 2pi

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