Determine a equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar a equação da reta tangente à curva y = ln(x² + 1) no ponto (1,0). O conteúdo envolvido é derivada de funções logarítmicas e uso da forma ponto-ângulo para reta tangente. Vamos precisar calcular a derivada da função, avaliar essa derivada no ponto dado e então montar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função y = ln(x² + 1) usando regra da cadeia. Se definirmos u = x² + 1, então y = ln(u) e y’ = (1/u) · u’. Como u’ = 2x, temos:
Passo 3
Simplificando, obtemos a expressão da inclinação em função de x:
Passo 4
Para achar o coeficiente angular da reta tangente no ponto (1,0), avaliamos a derivada em x = 1:
Passo 5
Com o coeficiente angular m = 1 e o ponto (x₀,y₀) = (1,0), usamos a forma ponto-ângulo da reta:
Substituindo, fica:
Passo 6
Finalmente, simplificando a equação, obtemos:
Resposta
y = x - 1