Determine a equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
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y=ln(x^2 + 1), (1,0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da reta tangente à curva y = ln(x² + 1) no ponto (1,0). O conteúdo envolvido é derivada de funções logarítmicas e uso da forma ponto-ângulo para reta tangente. Vamos precisar calcular a derivada da função, avaliar essa derivada no ponto dado e então montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função y = ln(x² + 1) usando regra da cadeia. Se definirmos u = x² + 1, então y = ln(u) e y’ = (1/u) · u’. Como u’ = 2x, temos:
y' = 1x² + 1 cdot 2x²

Passo 3

Simplificando, obtemos a expressão da inclinação em função de x:
y' = 2xx² + 1²

Passo 4

Para achar o coeficiente angular da reta tangente no ponto (1,0), avaliamos a derivada em x = 1:
m = y'(1) = 2 cdot 11² + 1 = 22 = 1²

Passo 5

Com o coeficiente angular m = 1 e o ponto (x₀,y₀) = (1,0), usamos a forma ponto-ângulo da reta:
y - y₀ = m(x - x₀)
Substituindo, fica:
y - 0 = 1 cdot (x - 1)

Passo 6

Finalmente, simplificando a equação, obtemos:
y = x - 1

Resposta

y = x - 1

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