Prove as seguintes identidades trigonométricas: cos ^2 theta=1+cos 2 theta2
7. Utilize o que foi verificado no exercício anterior para mostrar que:
(a) sen theta sen phi=12[cos (theta-phi)-cos (theta+phi)]

Passo 1

Temos duas tarefas: primeiro provar que cos^2theta=tfrac1+cos2theta2 e depois, usando esse resultado, mostrar que sinthetasinphi=tfrac12[cos(theta-phi)-cos(theta+phi)]. Vamos precisar da identidade pitagórica, da fórmula de ângulo duplo e das fórmulas de soma e diferença de cossenos.

Passo 2

Relembramos duas identidades fundamentais da trigonometria:
sin^2theta + cos^2theta = 1
cos2theta = cos^2theta - sin^2theta

Passo 3

Da primeira identidade isolamos sin^2theta:
sin^2theta = 1 - cos^2theta
Substituímos esse valor na expressão de cos2theta:
cos2theta = cos^2theta - (1 - cos^2theta) = 2cos^2theta - 1

Passo 4

Agora isolamos cos^2theta e obtemos:
2cos^2theta = 1 + cos2theta Longrightarrow cos^2theta = 1 + cos2theta2

Passo 5

Para a segunda parte, usamos as fórmulas de soma e diferença de cossenos:
cos(theta - phi) = costhetacosphi + sinthetasinphi
cos(theta + phi) = costhetacosphi - sinthetasinphi

Passo 6

Subtraímos essas expressões:
cos(theta - phi) - cos(theta + phi) = (costhetacosphi + sinthetasinphi) - (costhetacosphi - sinthetasinphi) = 2sinthetasinphi

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 2, chegamos à fórmula desejada:
sinthetasinphi = 12l[cos(theta - phi) - cos(theta + phi)r]

Resposta

Demonstramos as duas identidades:
cos^2theta = tfrac1 + cos2theta2
sinthetasinphi = tfrac12[cos(theta-phi)-cos(theta+phi)]

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