Determine a equação da reta tangente à curva no ponto especificado.
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y=e^x sin(x) no ponto (0,0).

Passo 1

Enunciado: Determinar a equação da reta tangente à curva y = e^x sin(x) no ponto (0,0). Conteúdo: derivada de produto e equação da reta tangente. Vamos precisar calcular a derivada da função e avaliá-la em x=0.

Passo 2

Usamos a regra do produto para derivar y = e^x sin(x). A regra do produto diz que se y = u(x)v(x), então y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x). Aqui, u(x) = e^x e v(x) = sin(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais: u'(x) = e^x e v'(x) = cos(x). Logo,
y' = e^x sin(x) + e^x cos(x) = e^x (sin(x) + cos(x))

Passo 4

Avaliamos a derivada em x=0: sin(0)=0, cos(0)=1 e e^0=1. Então
y'(0) = 1cdot (0 + 1) = 1

Passo 5

Esse valor é o coeficiente angular da reta tangente. Como o ponto de tangência é (0,0) e o coeficiente angular é 1, a equação da reta na forma ponto-declive é y - y0 = m (x - x0). Substituindo,
y - 0 = 1 cdot (x - 0)
logo a reta é y = x.

Resposta

y = x

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