Determine a equação da reta tangente à curva no ponto fornecido.
y=3 x1+5 x^2,(1, 12)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = 3x1 + 5x^2
no ponto l(1,tfrac12r). Para isso, vamos precisar do coeficiente angular da tangente, que é dado pela derivada y' avaliada em x=1, e depois aplicar a fórmula ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Calculemos y' usando a regra do quociente. Se u(x)=3x e v(x)=1+5x^2, então
u'(x)=3, v'(x)=10x
e
y' = u'v - u,v'v^2 = 3(1+5x^2) - 3xcdot10x(1+5x^2)^2 = 3 + 15x^2 - 30x^2(1+5x^2)^2 = 3(1 - 5x^2)(1+5x^2)^2

Passo 3

Avalie a derivada em x=1:
y'(1) = 3l(1-5cdot1^2r)(1+5cdot1^2)^2 = 3(1-5)6^2 = 3cdot(-4)36 = -13
Logo, o coeficiente angular da tangente é m=-tfrac13.

Passo 4

Use a fórmula da reta no ponto (x0,y0) com inclinação m:
y - y0 = m,(x - x0)
Substituindo m=-tfrac13 e (x0,y0)=(1,tfrac12), obtemos
y - tfrac12 = -tfrac13,(x - 1)
Se preferir a forma explícita,
y = -tfrac13x + tfrac13 + tfrac12 = -tfrac13x + tfrac56

Resposta

A reta tangente é
y - 12 = -13,(x - 1)
ou, equivalentemente,
y = -13x + 56

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