Encontre a solução geral da equação
t^2 y^prime prime-3 t y^prime+4 y=t^2 ln (t), t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler
t^2y''-3t,y'+4y=t^2ln(t), t>0
O conteúdo aqui é equações de Cauchy–Euler. Para resolver, primeiro achamos a solução homogênea usando a equação característica, depois obtemos uma particular por meio da mudança de variável x=ln(t), escrevendo y=t^2u(x).

Passo 2

A equação homogênea é
t^2y''-3t,y'+4y=0
Assumimos yh=t^r. Substituindo na equação acima vem a característica
r(r-1)-3r+4=0;Longrightarrow;r^2-4r+4=0;Longrightarrow;(r-2)^2=0,
logo r=2 dupla. Portanto
yh=C1,t^2 + C2,t^2ln(t)

Passo 3

Para achar uma solução particular, fazemos x=ln(t) e escrevemos
y(t)=t^2u(x)
Calculamos
y'=ddt(t^2u)=2t,u + t,u', y''=u''+3u'+2u
onde u'=du/dx e aproveitamos que dx/dt=1/t. Substituindo na equação original obtém-se
t^2l(u''+3u'+2ur)-3tl(2t,u+t,u'r)+4t^2u =t^2,u''=t^2ln(t)
Divide por t^2 e usa ln(t)=x, restando
u''(x)=x

Passo 4

Integramos duas vezes em x:
u'(x)=integral x,dx=tfracx^22+A, u(x)=integrall(tfracx^22+Ar)dx =tfracx^36+A,x+B
Os termos A,x+B geram soluções já contidas em yh, então para uma particular tomamos
up(x)=x^36

Passo 5

Volta a y:
yp(t)=t^2,up(ln t) =t^2l(ln(t)r)^36

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1,t^2 + C2,t^2ln(t)+t^2l(ln(t)r)^36

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