Encontre a solução geral da equação
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Euler
O conteúdo aqui é equações de Cauchy–Euler. Para resolver, primeiro achamos a solução homogênea usando a equação característica, depois obtemos uma particular por meio da mudança de variável
, escrevendo
.
Passo 2
A equação homogênea é
Assumimos
. Substituindo na equação acima vem a característica
logo
dupla. Portanto
Passo 3
Para achar uma solução particular, fazemos
e escrevemos
Calculamos
onde
e aproveitamos que
. Substituindo na equação original obtém-se
Divide por
e usa
, restando
Passo 4
Integramos duas vezes em
:
Os termos
geram soluções já contidas em
, então para uma particular tomamos
Passo 5
Volta a
:
Resposta
A solução geral é