Usando o método de variação de parâmetros, determine a solução do problema de valor inicial
y^prime prime+5 y^prime+6 y=t^2, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + 5y' + 6y = t^2, y(0)=0, y'(0)=0
usando o método de variação de parâmetros. Para isso vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois construir uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 5y' + 6y = 0
A equação característica é
r^2 + 5r + 6 = 0 Longrightarrow (r+2)(r+3)=0,
logo r=-2 e r=-3. Portanto as soluções fundamentais são
y1(t) = e^-2t, y2(t) = e^-3t

Passo 3

Pela variação de parâmetros, buscamos
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t),
onde as funções u1 e u2 satisfazem o sistema
u1'(t),y1(t) + u2'(t),y2(t) = 0, u1'(t),y1'(t) + u2'(t),y2'(t) = t^2
O Wronskiano é
W = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^-2t & e^-3t[3pt] -2e^-2t & -3e^-3t = -e^-5t
Assim,
u1'(t) = -,y2(t),t^2W = -,e^-3t,t^2-e^-5t = e^2t,t^2,
u2'(t) = y1(t),t^2W = e^-2t,t^2-e^-5t = -,e^3t,t^2 ]

Passo 4

Integramos para obter u1 e u2.
Para u1:
u1(t) = integral e^2t,t^2,dt
Usando integração por partes sucessivas, chega-se a
integral e^2tt^2,dt = e^2tl(tfract^22-tfract2+tfrac14r) = e^2t4,l(2t^2-2t+1r)
Logo
u1(t) = e^2t4,(2t^2-2t+1)
Para u2:
u2(t) = -integral e^3t,t^2,dt
Novamente por partes:
integral e^3tt^2,dt = e^3tl(tfract^23-tfrac2t9+tfrac227r) = e^3t27,(9t^2-6t+2)
Então
u2(t) = -,e^3t27,(9t^2-6t+2)

Passo 5

O particular é
yp(t) = u1(t)e^-2t + u2(t)e^-3t
Substituindo:
yp(t) = e^2t4(2t^2-2t+1),e^-2t ;-;e^3t27(9t^2-6t+2),e^-3t
= 2t^2-2t+14 ;-;9t^2-6t+227 = t^26 - 5t18 + 19108

Passo 6

A solução geral é
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t + t^26 - 5t18 + 19108
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0:
  1. y(0)=C1+C2 + tfrac19108=0
    ;Longrightarrow;C1+C2=-tfrac19108
  2. Calculando
y'(t) = -2C1e^-2t-3C2e^-3t + t3 - 518,
temos em t=0:
y'(0) = -2C1 -3C2 - tfrac518=0 ;Longrightarrow;-2C1-3C2=tfrac518

Passo 7

Resolvendo o sistema
C1 + C2 = -tfrac19108, -2C1-3C2 = tfrac518,
encontra-se
C1 = -tfrac14, C2 = tfrac227

Resposta

boxed y(t) = -14,e^-2t + 227,e^-3t + t^26 - 5t18 + 19108

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