(número
) Faça o que se pede.
(a) Mostre que
é convergente e denote seu limite pela letra
.
(b) Mostre que
.
(c) Mostre que
é irracional (curiosidade:
).
(d) Considere a sequência
dada por
. Faça o que se pede.
(e) Usando o Binômio de Newton mostre que (
) é crescente e que
. Conclua que
é convergente e que
.
(f) Mostre que para
vale
(g) Fixando
e fazendo
demonstre que
.
(h) Conclua que
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Mostre que
(d) Considere a sequência
(e) Usando o Binômio de Newton mostre que (
(f) Mostre que para
(h) Conclua que
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede:
(a) mostrar que converge e chamar seu limite de
;
(b) provar ;
(c) provar que é irracional;
(d) considerar a sequência
(a) mostrar que
(b) provar
(c) provar que
(d) considerar a sequência
(e) usar o Binômio de Newton para mostrar que
é crescente, que
para todo
e concluir
;
(f) estabelecer para a desigualdade
(f) estabelecer para
(g) fixar
e fazer
para mostrar
;
(h) concluir que .
(h) concluir que
Passo 2
Monotonicidade e majorante de
: como cada termo
, segue
. Para ver que
é limitada acima note que, para
,
logo
Dessa forma
e portanto
é crescente e limitada, logo converge. Denotamos
Passo 3
Cotas numéricas de
: do passo anterior temos
ou seja
.
Passo 4
Prova de irracionalidade de
: suponha, por absurdo, que
com
. Então
O primeiro somatório é inteiro. Para o segundo, para
,
logo
Isso mostra que
é um inteiro mais um fracção em
, contradição. Logo
é irracional.
Passo 5
Monotonia e comparação de
: pelo Binômio de Newton
Mas
Como cada fator
, conclui-se
para todo
, e a desigualdade é estrita pois já para
há fator
. De modo análogo (ou analisando a função contínua
) verifica-se que
. Assim
é crescente e limitada por
, logo converge. Chamamos
e já temos
.
Passo 6
Desigualdade truncada (item f): da mesma expansão vale
Para
todos os produtos para
estão bem definidos, então
Passo 7
Passagem ao limite para cada
(item g): fixado
, tem-se
Logo, para o truncamento de
,
Isso vale para todo
, então
.
Passo 8
Conclusão (item h): juntando
e
segue
Resposta
(a)
é crescente e limitada, logo converge; definimos
.
(b) .
(c) é irracional.
(d) .
(e) é crescente e
para
, logo converge e
.
(f) Para vale
(b)
(c)
(d)
(e)
(f) Para
(g) Fixando
e fazendo
segue
.
(h) Como e
, concluímos
.
(h) Como