(número e ) Faça o que se pede.
(a) Mostre que an=1+1+12!+ldots+1n! é convergente e denote seu limite pela letra e.
(b) Mostre que 2 <= e<3.
(c) Mostre que e é irracional (curiosidade: e=2,718281828459045 ldots ).
(d) Considere a sequência (bn) dada por bn=(1+1n)^n. Faça o que se pede.
(e) Usando o Binômio de Newton mostre que ( bn ) é crescente e que bn<an, forall n >= 2. Conclua que (bn) é convergente e que lim bn <= e.
(f) Mostre que para n>p vale
bn >= 1+1+12!(1-1n)+ldots+1p!(1-1n)(1-2n) ldots(1-p-1n)
(g) Fixando p e fazendo n infty demonstre que lim bn >= ap, forall p in N.
(h) Conclua que lim bn=e.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 1 + 1 + 12! + dots + 1n!
e pede:
(a) mostrar que (an) converge e chamar seu limite de e;
(b) provar 2 <= e < 3;
(c) provar que e é irracional;
(d) considerar a sequência
bn = l(1 + 1nr)^n;
(e) usar o Binômio de Newton para mostrar que (bn) é crescente, que bn < an para todo n>=2 e concluir lim bn <= e;
(f) estabelecer para n>p a desigualdade
bn >= 1+1+12!l(1-1nr)+dots+1p!l(1-1nr)dotsl(1-p-1nr);
(g) fixar p e fazer ntoinfty para mostrar lim bn >= ap;
(h) concluir que lim bn = e.

Passo 2

Monotonicidade e majorante de (an): como cada termo tfrac1k!>0, segue an+1>an. Para ver que (an) é limitada acima note que, para k>=2,
k! >= 2^,k-1,
logo
sumk=2^infty1k! <= sumk=2^infty12^,k-1 = summ=1^infty12^m =1
Dessa forma
an ;=;1+1+sumk=2^n1k! ;<=;2+1=3,
e portanto (an) é crescente e limitada, logo converge. Denotamos
e = limntoinfty an

Passo 3

Cotas numéricas de e: do passo anterior temos
a1 = 1+1 = 2 <= e e e = limntoinfty an <= 3,
ou seja 2 <= e < 3.

Passo 4

Prova de irracionalidade de e: suponha, por absurdo, que e = tfrac p q com p,qinN. Então
q!,e = q!sumk=0^infty1k! = sumk=0^qq!k! + sumk=q+1^inftyq!k!
O primeiro somatório é inteiro. Para o segundo, para m>=1,
q!(q+m)! = 1(q+1)(q+2)cdots(q+m) < 12^m,
logo
0 < sumk=q+1^inftyq!k! < summ=1^infty12^m=1
Isso mostra que q!e é um inteiro mais um fracção em (0,1), contradição. Logo e é irracional.

Passo 5

Monotonia e comparação de (bn): pelo Binômio de Newton
bn = l(1 + tfrac1nr)^n = sumk=0^nbinomnk1n^k
Mas
binomnk1n^k = n(n-1)cdots(n-k+1)k!,n^k = 1k!prodj=0^k-1l(1-jnr)
Como cada fator l(1-tfrac jnr)<=1, conclui-se
bn < sumk=0^n1k! = an,
para todo n>=2, e a desigualdade é estrita pois já para k=2 há fator 1-tfrac1n<1. De modo análogo (ou analisando a função contínua xmapsto(1+1/x)^x) verifica-se que bn+1>bn. Assim (bn) é crescente e limitada por an<=3, logo converge. Chamamos
L = limntoinfty bn,
e já temos L <= e.

Passo 6

Desigualdade truncada (item f): da mesma expansão vale
bn = sumk=0^n 1k!prodj=0^k-1l(1-jnr)
Para n>p todos os produtos para k<= p estão bem definidos, então
bn ;>=; sumk=0^p 1k!prodj=0^k-1l(1-jnr) = 1+1+12!l(1-tfrac1nr)+dots+1p!prodj=0^p-1l(1-tfracjnr)

Passo 7

Passagem ao limite para cada p (item g): fixado k<= p, tem-se
limntoinftyprodj=0^k-1l(1-jnr) = 1
Logo, para o truncamento de p,
L = limntoinfty bn ;>=; sumk=0^p 1k! = ap
Isso vale para todo p, então L >= supp ap = e.

Passo 8

Conclusão (item h): juntando L <= e e L >= e segue
limntoinfty bn ;=; e

Resposta

(a) (an) é crescente e limitada, logo converge; definimos e=lim an.
(b) 2<= e<3.
(c) e é irracional.
(d) bn=l(1+tfrac1nr)^n.
(e) (bn) é crescente e bn<an para n>=2, logo converge e lim bn<= e.
(f) Para n>p vale
bn>= 1+1+12!l(1-tfrac1nr)+dots+1p!prodj=0^p-1l(1-tfracjnr)
(g) Fixando p e fazendo ntoinfty segue lim bn>= ap.
(h) Como lim bn<= e e lim bn>= e, concluímos lim bn=e.

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