Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de
em torno de 0
Passo 1
O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 (ou Maclaurin) de f(x)=cos(x) em torno de x₀=0. O conteúdo envolvido é série de Taylor; vamos usar a definição de polinômio de Taylor e precisar das derivadas de cos(x) avaliadas em 0.
Passo 2
A definição de polinômio de Taylor de ordem n em torno de x₀ é
Vamos achar as derivadas até k=5 e avaliá-las em x₀=0:
f(x)=cos(x), f’(x)=-sin(x), f’’(x)=-cos(x), f’’’(x)=sin(x), f^{(4)}(x)=cos(x), f^{(5)}(x)=-sin(x).
Em x=0 temos f(0)=1, f’(0)=0, f’’(0)=-1, f’’’(0)=0, f^{(4)}(0)=1, f^{(5)}(0)=0.
f(x)=cos(x), f’(x)=-sin(x), f’’(x)=-cos(x), f’’’(x)=sin(x), f^{(4)}(x)=cos(x), f^{(5)}(x)=-sin(x).
Em x=0 temos f(0)=1, f’(0)=0, f’’(0)=-1, f’’’(0)=0, f^{(4)}(0)=1, f^{(5)}(0)=0.
Passo 3
Agora montamos T₅(x) usando somente os termos não nulos (k=0,2,4):
Substituindo f(0)=1, f’’(0)=-1, f^{(4)}(0)=1 e 2!=2, 4!=24, obtemos