Determine:
a equação da reta tangente à curva no ponto de abcissa 1 .
Passo 1
O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por
no ponto que tem abscissa . Para resolver vamos precisar () encontrar a ordenada correspondente, () calcular por diferenciação implícita via log-diferenciação e () usar a forma ponto-inclinação da reta.
Passo 2
Para a equação fica
logo . Portanto o ponto de tangência é .
Passo 3
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados de
e obtemos
Passo 4
Agora diferenciamos em relação a . Do lado esquerdo, usando produto,
Do lado direito, usando produto e cadeia,
Então a igualdade vira
Passo 5
Reagrupando termos em ,
portanto
Passo 6
No ponto temos
logo
Passo 7
A reta tangente em (1,1) com inclinação m=tfrac13 é