Determine:
a equação da reta tangente à curva x^y=y^2 x+1 no ponto de abcissa 1 .

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva definida implicitamente por
x^y=y^2x+1
no ponto que tem abscissa x=1. Para resolver vamos precisar ( 1) encontrar a ordenada y correspondente, ( 2) calcular tfracdydx por diferenciação implícita via log-diferenciação e ( 3) usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Para x=1 a equação fica
1^y=y^2cdot1+1;Longrightarrow;1=y^3,
logo ,y=1. Portanto o ponto de tangência é (1,1).

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados de
x^y=y^2x+1
e obtemos
yln x=(2x+1)ln y

Passo 4

Agora diferenciamos em relação a x. Do lado esquerdo, usando produto,
ddxl(yln xr) =dydxln x+yx
Do lado direito, usando produto e cadeia,
ddxl((2x+1)ln yr) =2ln y+2x+1y,dydx
Então a igualdade vira
dydxln x+yx =2ln y+2x+1y,dydx

Passo 5

Reagrupando termos em tfracdydx,
dydxl(ln x-2x+1yr) =2ln y-yx,
portanto
dydx =2ln y-tfracyxln x-tfrac2x+1y

Passo 6

No ponto (1,1) temos
2ln1-11=0-1=-1, ln1-31=0-3=-3,
logo
dydx|(1,1) =-1-3=13

Passo 7

A reta tangente em (1,1) com inclinação m=tfrac13 é
y-1=13(x-1),
que simplifica para
y=13x+23

Resposta

y=13x+23

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