Exercício 12. Mostrar a seguinte representação para o Lapaciano de uma função u: Omega longrightarrow R de classe C^2(Omega), em um ponto x in int Omega :
De<a u(x)=lim r 0 c1r^2 fpartial Br(x)(u(y)-u(x)) d y=lim r 0 c2r^2 fBr(x)(u(y)-u(x)) d y
Esta fórmula nos dá uma interpretação do Laplaciano como uma medida infinitesimal do quanto u é diferente de sua da média em bolas (ou esferas) de raio pequeno. Funções cujo Laplaciano é pequeno, neste sentido, são muito próximas de suas médias em esferas pequenas; funções harmônicas são iguais as suas médias (Propriedade do Valor Médio).
Dica: usar a Fórmula de Taylor e calcular explicitamente algumas das integrais, diretamente ou com o auxílio de teoremas de integração.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para uma função u:OmegatoR de classe C^2 e para xinintOmega, vale
De<a u(x) =limrto0c1r^2integralpartial Br(x)l(u(y)-u(x)r),dS(y) =limrto0c2r^2integralBr(x)l(u(y)-u(x)r),dy
Aqui n=dimOmega, Br(x) é a bola de raio r centrada em x, e dS a medida de superfície. Vamos usar a expansão de Taylor de u em torno de x até segunda ordem e calcular as integrais por simetria.

Passo 2

Seja w=y-x. Pela fórmula de Taylor em várias variáveis, para lvert wrvert pequeno temos
u(x+w) = u(x) +sumi=1^npartiali u(x),wi +12sumi,j=1^npartialiju(x),wiwj +o(lvert wrvert^2)
Logo
u(y)-u(x) =nabla u(x)cdot w +tfrac12,w^T D^2u(x),w +o(lvert wrvert^2)

Passo 3

Integramos essa expansão sobre a esfera partial Br(x). Pelo fato de que integralpartial Brwi,dS(w)=0 (simetria ímpar) e
integralpartial Brwiwj,dS(w) =de<aij,lvert S^n-1rvert,r^n+1n,
onde lvert S^n-1rvert=lvertpartial B1(0)rvert, obtemos
integralpartial Br(x)l(u(y)-u(x)r),dS(y) =12sumi=1^npartialiiu(x),lvert S^n-1rvert,r^n+1n +o(r^n+1)
Como sumipartialiiu(x)=De<a u(x),
integralpartial Br(x)l(u(y)-u(x)r),dS(y) =De<a u(x),lvert S^n-1rvert2n;r^n+1+o(r^n+1)

Passo 4

Para que
c1r^2integralpartial Br(x)l(u(y)-u(x)r),dS(y) ;longrightarrow;De<a u(x),
basta escolher c1 de modo que
c1;lvert S^n-1rvert2n=1,
ou seja
c1=2nlvert S^n-1rvert
Isso prova a primeira representação.

Passo 5

Agora integramos sobre a bola Br(x). Pelo mesmo argumento de simetria,
integralBr(x)wi,dw=0, integralBr(x)wiwj,dw =de<aij,lvert B1(0)rvert,r^n+2n+2,
onde lvert B1(0)rvert=omegan. Da expansão de Taylor segue
integralBr(x)l(u(y)-u(x)r),dy =12,De<a u(x),omegan,r^n+2n+2 +o(r^n+2)

Passo 6

Para que
c2r^2integralBr(x)l(u(y)-u(x)r),dy ;longrightarrow;De<a u(x),
precisamos de
c2;omegan2(n+2)=1,
ou seja
c2=2(n+2)omegan
Isso estabelece a segunda representação.

Resposta

De<a u(x) =limrto02nlvert partial B1rvert,1r^2 integralpartial Br(x)l(u(y)-u(x)r),dS(y) =limrto02(n+2)omegan,1r^2 integralBr(x)l(u(y)-u(x)r),dy

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