Exercício 12. Mostrar a seguinte representação para o Lapaciano de uma função
de classe
, em um ponto
:
Esta fórmula nos dá uma interpretação do Laplaciano como uma medida infinitesimal do quanto
é diferente de sua da média em bolas (ou esferas) de raio pequeno. Funções cujo Laplaciano é pequeno, neste sentido, são muito próximas de suas médias em esferas pequenas; funções harmônicas são iguais as suas médias (Propriedade do Valor Médio).
Dica: usar a Fórmula de Taylor e calcular explicitamente algumas das integrais, diretamente ou com o auxílio de teoremas de integração.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para uma função
de classe
e para
, vale
Aqui
,
é a bola de raio
centrada em
, e
a medida de superfície. Vamos usar a expansão de Taylor de
em torno de
até segunda ordem e calcular as integrais por simetria.
Passo 2
Seja
. Pela fórmula de Taylor em várias variáveis, para
pequeno temos
Logo
Passo 3
Integramos essa expansão sobre a esfera
. Pelo fato de que
(simetria ímpar) e
onde
, obtemos
Como
,
Passo 4
Para que
basta escolher
de modo que
ou seja
Isso prova a primeira representação.
Passo 5
Agora integramos sobre a bola
. Pelo mesmo argumento de simetria,
onde
. Da expansão de Taylor segue
Passo 6
Para que
precisamos de
ou seja
Isso estabelece a segunda representação.