Proposição: Se y=u^{v}, onde u=u(x) e v=v(x) são funções de x, deriváveis em um intervalo I e u(x)>0,8 x 2 I, então:
y^{0}=v \cdot u^{v 1} \cdot u^{0}+u^{v} \cdot \ln u \cdot v^{0}

Passo 1

O enunciado diz que temos
y = u(x)^{\,v(x)},
onde u e v são funções diferenciáveis em um intervalo I e u(x)>0 em I. Queremos encontrar y', usando regras de derivação de funções compostas e da função potência com expoente variável.

Passo 2

Para lidar com potência onde tanto a base quanto o expoente dependem de x, usamos logaritmo natural. Definimos
\ln y = \ln\bigl(u^{v}\bigr).
Pela propriedade de logaritmos, isso vira
\ln y = v \,\ln u.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos derivada implícita à função \ln y; no direito, usamos a regra do produto para v(x)\,\ln u(x). Assim:
\frac{y'}{y} = v'\,\ln u \;+\; v\,\frac{u'}{u}.

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\;\Bigl(v'\,\ln u + v\,\frac{u'}{u}\Bigr).

Passo 5

Por fim, substituímos y = u^v no resultado anterior e reorganizamos termos:
y' = u^{v}\,v'\,\ln u \;+\; u^{v}\,v\,\frac{u'}{u} = u^{v}\,\ln(u)\,v' \;+\; v\,u^{v-1}\,u'.

Resposta

y' = v\,u^{\,v-1}\,u' \;+\; u^{\,v}\,\ln(u)\,v'.

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