Proposição: Se
, onde
e
são funções de
, deriváveis em um intervalo
e
, então:
Passo 1
O enunciado diz que temos
onde
e
são funções diferenciáveis em um intervalo
e
em
. Queremos encontrar
, usando regras de derivação de funções compostas e da função potência com expoente variável.
Passo 2
Para lidar com potência onde tanto a base quanto o expoente dependem de
, usamos logaritmo natural. Definimos
Pela propriedade de logaritmos, isso vira
Passo 3
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, aplicamos derivada implícita à função
; no direito, usamos a regra do produto para
. Assim:
Passo 4
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Por fim, substituímos
no resultado anterior e reorganizamos termos: