Imite o Exemplo 3.13 das Notas de Aula, e calcule uma primitiva para a função
f(x)=sen xx, x neq 0, e f(0)=0
lembramos que uma primitiva de f(x) é uma função F(x) tal que F^prime(x)=f(x). Basta usar a série que representa sen x em torno de zero, e colocar x em evidência; a série que resulta representa f(x), e converge em todo x (em particular, converge em zero, é claro); resta usar o Teorema de integração termo a termo de séries de potências para encontrar a primitiva desejada. Em seguida, use a soma parcial de ordem 3 dessa série integrada ( com x=1 / 2 ) para calcular uma aproximação da integral
integral0^1 / 2 sen tt d t
estime o erro dessa aproximação (veja. Exemplo 3.14, pag 70, e a desigualdade (2.15), pag. 41 das Notas de Aula).

Passo 1

O exercício pede pra achar uma primitiva de f(x)=sin xx (definida como 0 em x=0) usando série de Taylor de sin x, e depois usar a soma parcial de ordem 3 dessa primitiva em x=tfrac12 pra aproximar integral0^1/2sin tt,dt, estimando o erro.

Passo 2

Começamos lembrando a expansão de sin x em torno de zero:
sin x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!

Passo 3

Dividindo por x (e definindo f(0)=0), obtemos a série de potências para f(x)=sin x/x:
f(x)=sin xx=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n+1)!

Passo 4

Pelo Teorema de integração termo a termo de séries de potências (válido no intervalo de convergência), uma primitiva é
F(x)=C+sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1),(2n+1)!

Passo 5

Escolhendo a constante de integração C=0 para que F(0)=0, temos F'(x)=f(x) e portanto
integral0^1/2sin tt,dt=F(tfrac12)=sumn=0^infty(-1)^n(1/2)^2n+1(2n+1),(2n+1)!

Passo 6

Agora fazemos a soma parcial de ordem 3 (ou seja, n=0,1,2,3) em x=1/2:
S3=(1/2)^11cdot1!-(1/2)^33cdot3!+(1/2)^55cdot5!-(1/2)^77cdot7!

Passo 7

Calculando cada termo:
12=0,5, -1144approx-0,00694444, 119200approx0,00005208, -14515840approx-0,00000022,

Passo 8

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S3approx0,49310742

Passo 9

Para estimar o erro R3, usamos o critério da série alternada com termos decrescentes em valor absoluto: o erro é no máximo o próximo termo em módulo, que corresponde a n=4:
|R3|<=(1/2)^99cdot9!=1/5129times362880=11,6777216times10^9approx6times10^-10

Resposta

integral0^1/2sin tt,dtapprox0,49310742, com erro estimado de ordem 6times10^-10.

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