Imite o Exemplo 3.13 das Notas de Aula, e calcule uma primitiva para a função
lembramos que uma primitiva de
é uma função
tal que
. Basta usar a série que representa sen
em torno de zero, e colocar
em evidência; a série que resulta representa
, e converge em todo
(em particular, converge em zero, é claro); resta usar o Teorema de integração termo a termo de séries de potências para encontrar a primitiva desejada. Em seguida, use a soma parcial de ordem 3 dessa série integrada (
) para calcular uma aproximação da integral
estime o erro dessa aproximação (veja. Exemplo 3.14, pag 70, e a desigualdade (2.15), pag. 41 das Notas de Aula).
Passo 1
O exercício pede pra achar uma primitiva de
(definida como 0 em
) usando série de Taylor de
, e depois usar a soma parcial de ordem 3 dessa primitiva em
pra aproximar
, estimando o erro.
Passo 2
Começamos lembrando a expansão de
em torno de zero:
Passo 3
Dividindo por
(e definindo
), obtemos a série de potências para
:
Passo 4
Pelo Teorema de integração termo a termo de séries de potências (válido no intervalo de convergência), uma primitiva é
Passo 5
Escolhendo a constante de integração
para que
, temos
e portanto
Passo 6
Agora fazemos a soma parcial de ordem 3 (ou seja,
) em
:
Passo 7
Calculando cada termo:
Passo 8
logo
Passo 9
Para estimar o erro
, usamos o critério da série alternada com termos decrescentes em valor absoluto: o erro é no máximo o próximo termo em módulo, que corresponde a
: