Determine a equação de uma reta que é tangente ao gráfico de f(x)=\operatorname{sen} x e paralela ao eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=\operatorname{sen} x que seja paralela ao eixo x. O conteúdo aqui é derivada para achar o coeficiente angular da tangente e impor que ele seja zero (reta horizontal).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Pela regra da derivada de seno,
f'(x)=\cos x.

Passo 3

Para que a reta tangente seja paralela ao eixo x, precisamos de coeficiente angular zero, ou seja
f'(x_0)=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos x_0=0.
As soluções são
x_0=\frac{\pi}{2}+k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Em cada ponto x_0 o valor de f é
f(x_0)=\operatorname{sen}\Bigl(\frac{\pi}{2}+k\pi\Bigr)=(-1)^k.
Como a reta tangente horizontal em (x_0,f(x_0)) tem equação y=f(x_0), obtemos a família das retas
y=(-1)^k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

y = (-1)^k, \quad k\in\mathbb{Z}.
\text{Em particular, }y=1\text{ e }y=-1.

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