Calcule
sendo
dada por:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
da função dada.
Informação fornecida: é definida por
. Não há outras restrições no enunciado, então podemos considerar
real.
Informação fornecida:
Passo 2
Reescrevendo a função de uma forma que facilita a manipulação algébrica: a raiz cúbica pode ser escrita como potência. Ou seja,
Aqui a variável é
(um número real) e o expoente
significa “a potência um terço”, que corresponde à raiz cúbica. Nosso objetivo é obter a expressão que dá a inclinação da curva
em cada ponto
: isso é
.
Passo 3
Escolha do método: vou usar a definição do limite da derivada (ou seja, a definição básica) por dois motivos: (1) é didático — mostra direitinho de onde vem a fórmula; (2) permite tratar corretamente sinais quando
pode ser negativo (a raiz cúbica está definida para todos os
reais). A definição da derivada em
é
Aplicando ao nosso
:
Passo 4
Manipulação do quociente para eliminar a diferença de raízes: seja
Note que
e
. Usamos a identidade algébrica de diferença de cubos:
Como
, temos
Dividindo ambos os lados por
(para aparecer o quociente da definição da derivada),
Voltando às notações originais,
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. À medida que
temos
, portanto o denominador tende a
Assim,
Podemos reescrever essa expressão de forma equivalente usando potências:
válido sempre que o denominador
for finito e diferente de zero, ou seja, para
.
Passo 6
Comentário sobre o ponto
: calculemos a derivada em
pela definição:
Esse limite não é finito: à medida que
temos
. Portanto a derivada em
não existe (a curva tem um “pico”/cúspide vertical ali).