Calcule g^{\prime}(x) sendo g dada por:
g(x)=\sqrt[3]{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada g'(x) da função dada.
Informação fornecida: g é definida por g(x)=\sqrt[3]{x}. Não há outras restrições no enunciado, então podemos considerar x real.

Passo 2

Reescrevendo a função de uma forma que facilita a manipulação algébrica: a raiz cúbica pode ser escrita como potência. Ou seja,
g(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}.
Aqui a variável é x (um número real) e o expoente 1/3 significa “a potência um terço”, que corresponde à raiz cúbica. Nosso objetivo é obter a expressão que dá a inclinação da curva g em cada ponto x: isso é g'(x).

Passo 3

Escolha do método: vou usar a definição do limite da derivada (ou seja, a definição básica) por dois motivos: (1) é didático — mostra direitinho de onde vem a fórmula; (2) permite tratar corretamente sinais quando x pode ser negativo (a raiz cúbica está definida para todos os x reais). A definição da derivada em x é
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Aplicando ao nosso g:
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{1/3}-x^{1/3}}{h}.

Passo 4

Manipulação do quociente para eliminar a diferença de raízes: seja
A=(x+h)^{1/3}\quad\text{e}\quad B=x^{1/3}.
Note que A^3=(x+h) e B^3=x. Usamos a identidade algébrica de diferença de cubos:
A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2).
Como A^3-B^3=(x+h)-x=h, temos
A-B=\frac{h}{A^2+AB+B^2}.
Dividindo ambos os lados por h (para aparecer o quociente da definição da derivada),
\frac{A-B}{h}=\frac{1}{A^2+AB+B^2}.
Voltando às notações originais,
\frac{(x+h)^{1/3}-x^{1/3}}{h}=\frac{1}{(x+h)^{2/3}+(x+h)^{1/3}x^{1/3}+x^{2/3}}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando h\to 0. À medida que h\to 0 temos (x+h)^{1/3}\to x^{1/3}, portanto o denominador tende a
x^{2/3}+x^{1/3}\cdot x^{1/3}+x^{2/3}=x^{2/3}+x^{2/3}+x^{2/3}=3x^{2/3}.
Assim,
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{1/3}-x^{1/3}}{h}=\frac{1}{3x^{2/3}}.
Podemos reescrever essa expressão de forma equivalente usando potências:
g'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3},
válido sempre que o denominador 3x^{2/3} for finito e diferente de zero, ou seja, para x\neq 0.

Passo 6

Comentário sobre o ponto x=0: calculemos a derivada em 0 pela definição:
\lim_{h\to 0}\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^{1/3}-0}{h}=\lim_{h\to 0}h^{-2/3}.
Esse limite não é finito: à medida que h\to 0 temos |h|^{-2/3}\to +\infty. Portanto a derivada em 0 não existe (a curva tem um “pico”/cúspide vertical ali).

Resposta

g'(x)=\dfrac{1}{3}x^{-2/3} para x\neq 0
g'(0) não existe

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