Encontre um ponto do gráfico de f(x)=e^{x} no qual a reta tangente seja paralela à reta de equação x-4 y=1.

Passo 1

O enunciado pede um ponto do gráfico de f(x)=e^{x} cuja reta tangente seja paralela à reta de equação x-4y=1.
Para isso, vamos usar dois conceitos:
  1. A inclinação (coeficiente angular) de uma reta dada em forma implícita x-4y=1.
  2. A derivada de f, que fornece a inclinação da reta tangente em cada ponto do gráfico.

Passo 2

Para achar a inclinação da reta x-4y=1, isolamos y:
x - 4y = 1
-4y = 1 - x
y = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}.
Logo, o coeficiente angular dessa reta é m=\tfrac{1}{4}.

Passo 3

A derivada de f(x)=e^{x} é
f'(x)=e^{x},
e esse valor f'(x) é justamente a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em cada x.

Passo 4

Para que a reta tangente seja paralela à dada, igualamos as inclinações:
f'(x)=e^{x}=\tfrac{1}{4}.
Resolvendo para x:
x=\ln\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)=-\ln(4).

Passo 5

Finalmente, para encontrar o ponto no gráfico, calculamos
y=f(x)=e^{-\ln(4)}=\frac{1}{4}.
Portanto, o ponto pedido é \bigl(-\ln(4),\tfrac{1}{4}\bigr).

Resposta

\bigl(-\ln(4),\tfrac{1}{4}\bigr)

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