4- Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x)=x^3-6 x^2+9 x
No ponto de abscissa x=2.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=x^3-6x^2+9x
no ponto cuja abscissa é x=2. Para isso, precisamos (1) calcular a derivada f'(x) para obter a inclinação da tangente em qualquer x e (2) avaliar f(2) para ter as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 2

Usamos a regra do poder para derivar cada termo de f(x):
f'(x)=ddxl(x^3r)-6ddxl(x^2r)+9ddxl(xr)
Como ddx(x^n)=n,x^n-1, vem
f'(x)=3x^2-6cdot2x+9cdot1=3x^2-12x+9

Passo 3

A inclinação da reta tangente em x=2 é
m=f'(2)=3cdot2^2-12cdot2+9=3cdot4-24+9=12-24+9=-3

Passo 4

Para encontrar o ponto de tangência, avaliamos f(2):
f(2)=2^3-6cdot2^2+9cdot2=8-24+18=2
Logo o ponto é (2,2).

Passo 5

A equação da reta tangente de inclinação m passando por (x0,y0) é
y - y0=m,(x - x0)
Substituindo m=-3, x0=2 e y0=2, temos
y-2 = -3,(x-2)
que se simplifica para
y = -3x +6 +2
y = -3x +8

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -3x +8

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