3- Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x)=4 x+1x+2
No ponto (0,1 / 2).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4x+1x+2
e pede a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto (0,tfrac12). Para isso, vamos precisar calcular a derivada f'(x) (usando a regra do quociente) para obter o coeficiente angular da reta, e depois aplicar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Definindo u(x)=4x+1 e v(x)=x+2, a regra do quociente diz
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui u'(x)=4 e v'(x)=1, logo
f'(x) =4,(x+2)-(4x+1)cdot1(x+2)^2 =4x+8-4x-1(x+2)^2 =7(x+2)^2

Passo 3

No ponto x=0, o coeficiente angular da tangente é
m = f'(0)=7(0+2)^2=74

Passo 4

A fórmula da reta tangente em (x0,y0) é
y - y0 = m,(x - x0)
Aqui x0=0, y0=tfrac12 e m=tfrac74, então
y - 12 = 74,x Longrightarrow y = 74,x + 12

Resposta

y = 74,x + 12

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