Resolva o problema de valor inicial 2 x y e^y+x^2 e^y(y+1) y^prime=0, y(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x,y,e^y ;+; x^2e^y(y+1),dydx=0,
com condição inicial y(1)=1.
O conteúdo aqui é reconhecer que a equação é exata e usar o potencial phi(x,y) para integrar.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
temos
M(x,y) = 2x,y,e^y, N(x,y) = x^2e^y(y+1)
Verifico exatidão pelo teste
partial Mpartial y =2x,e^y(1+y), partial Npartial x =2x,e^y(y+1),
logo partial M/partial y = partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Procuramos phi(x,y) tal que partialphi/partial x = M. Integro em x:
phi(x,y) = integral 2x,y,e^y,dx = x^2y,e^y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Imponho partialphi/partial y = N:
partialpartial yl(x^2y,e^y + h(y)r) = x^2e^y + x^2y,e^y + h'(y) stackrel!= x^2e^y(y+1)
Isso dá h'(y)=0, logo h é constante. A solução implícita é
x^2y,e^y = C
Uso a condição y(1)=1:
1^2cdot1cdot e^1 = C Longrightarrow C = e

Passo 5

Fica
x^2y,e^y = e Longrightarrow y,e^y = ex^2
Para isolar y usamos a função de Lambert W, que satisfaz W(z)e^W(z)=z. Assim
y(x) = W!l(e/x^2r),
e escolhemos o ramo principal porque y(1)=1 W(e)=1.

Resposta

y(x) = W!l(e/x^2r)

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