Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo aqui é reconhecer que a equação é exata e usar o potencial para integrar.
O conteúdo aqui é reconhecer que a equação é exata e usar o potencial
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão
temos
Verifico exatidão pelo teste
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integro em
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Imponho
:
Isso dá
, logo
é constante. A solução implícita é
Uso a condição
:
Passo 5
Fica
Para isolar
usamos a função de Lambert
, que satisfaz
. Assim
e escolhemos o ramo principal porque
dá
.