1- Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
f(x)=x^3+1x^2+2
No ponto de abscissa x=1.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
f(x)=x^3+1x^2+2
no ponto cuja abscissa é x=1. Para obter essa reta, precisamos do valor de f(1) e da derivada f'(x) avaliada em x=1.

Passo 2

Calcular o ponto de tangência:
f(1)=1^3+11^2+2=23

Passo 3

Encontrar f'(x) usando a regra do quociente:
f'(x) =(3x^2)(x^2+2)-(x^3+1)(2x)(x^2+2)^2 =3x^4+6x^2-2x^4-2x(x^2+2)^2 =x^4+6x^2-2x(x^2+2)^2

Passo 4

Avaliar a derivada em x=1 e montar a equação da reta:
f'(1)=1^4+6cdot1^2-2cdot1(1^2+2)^2 =1+6-29=59
A reta tangente em x=1 é dada por
y - f(1)=f'(1),(x-1)
ou seja
y - tfrac23=tfrac59(x-1)
Simplificando,
y=59x - 59 + 23 =59x + 19

Resposta

A equação da reta tangente é
y=59x+19

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