Resolva cada inequação abaixo e expresse o conjunto de soluções em notação de intervalos:
x^3+2 x^2-3 x<0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
x^3+2x^2-3x<0
Trata-se de uma inequação polinomial de 3.º grau. Para resolver, vamos fatorar o polinômio e depois estudar o sinal do produto resultante.

Passo 2

Fatorando x^3+2x^2-3x, colocamos x em evidência e depois fatoramos o trinômio:
x^3+2x^2-3x = x,(x^2+2x-3) = x,(x+3),(x-1)

Passo 3

As raízes da expressão são as soluções de x=0, x+3=0Rightarrow x=-3 e x-1=0Rightarrow x=1. Esses valores dividem a reta real em quatro intervalos:
(-infty,-3),(-3,0),(0,1),(1,infty)

Passo 4

Estudamos o sinal do produto x,(x+3),(x-1) em cada intervalo, escolhendo um ponto de teste em cada um:
  1. Em x< -3 (ex.: x=-4):
    (-4)times(-4+3)times(-4-1)=(-4)times(-1)times(-5)=-20<0.
  2. Em -3<x<0 (ex.: x=-1):
    (-1)times2times(-2)=4>0.
  3. Em 0<x<1 (ex.: x=0,5):
    0,5times3,5times(-0,5)=-0,875<0.
  4. Em x>1 (ex.: x=2):
    2times5times1=10>0.
Logo, a expressão é negativa em (-infty,-3) e em (0,1).

Resposta

(-infty,-3),cup,(0,1)

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