Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x_{0} nos casos:
f(x)=x^{2}-\sqrt{x}, x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da função
f(x)= x^{2}–√x
no ponto de abscissa x_{0} =0. Vamos precisar calcular o valor de f em 0 e analisar a derivada de f para determinar o coeficiente angular da reta nesse ponto.

Passo 2

Calculamos o valor de f em x_{0} =0:
f(0)=0^2-\sqrt{0}=0-0=0.
Portanto o ponto de tangência é (0, 0).

Passo 3

Para obter a derivada f′(x) usamos as regras de derivação de potência:
– A derivada de x^{2} é 2x.
– A derivada de –√x=– x^{1/2} é
-\frac{1}{2}x^{-1/2}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Logo, para x>0,
f'(x)=2x-\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Devemos agora avaliar o comportamento de f′(x) quando x \to 0^{+}:
\lim_{x\to0^+}2x=0, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{2\sqrt{x}}=+\infty
e portanto
\lim_{x\to0^+}f'(x)=0-(+\infty)=-\infty.
Isso significa que f não é diferenciável em x =0 no sentido de ter coeficiente angular finito, mas o comportamento da derivada tende a –∞, indicando reta tangente vertical.

Resposta

A reta tangente é a reta vertical
x =0.

Exercícios relacionados